Question

[AhJin]

Cho phương trình \(\frac{x-1}{x-m}-\frac{x+2}{x+m}=0\). Tìm m để phương trình trên có nghiệm là nguyên dương.

Answer 1

[Đoàn Đức Hà]

\(\frac{x-1}{x-m}-\frac{x+2}{x+m}=0\) (ĐK: \(x\ne\pm m\))

\(\Leftrightarrow\frac{\left(x-1\right)\left(x+m\right)-\left(x+2\right)\left(x-m\right)}{\left(x-m\right)\left(x+m\right)}=0\)

\(\Rightarrow\left(x^2+mx-x-m\right)-\left(x^2-mx+2x-2m\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(2m-3\right)x=-m\) (1)

- Với \(2m-3=0\Leftrightarrow m=\frac{3}{2}\)(1) vô nghiệm.

- Với \(2m-3\ne0\Leftrightarrow m\ne\frac{3}{2}\)ta có: 

(1) \(\Leftrightarrow x=\frac{-m}{2m-3}\).

Để \(x\)là số nguyên thì \(-\frac{m}{2m-3}\inℤ\Rightarrow\frac{-2m}{2m-3}=\frac{-2m+3}{2m-3}-\frac{3}{2m-3}=1-\frac{3}{2m-3}\inℤ\).

Tương đương với \(\frac{3}{2m-3}\inℤ\Leftrightarrow2m-3\inƯ\left(3\right)=\left\{-3,-1,1,3\right\}\Leftrightarrow m\in\left\{0,1,2,3\right\}\).

Thử lại và đối chiếu điều kiện ta được \(m\in\left\{3\right\}\)thỏa mãn.