Question

[Trần Quang Hiệu]

 Cho đường tròn (O;R) và một đường thẳng cố định d không giao nhau.H là hình chiếu của O trên d,M là một điểm thay ddoooir trên d ( m khác H ) .Từ M kẻ hai tiếp tuyến MP và MQ voi đường tròn (O;R) .Dây cung PQ cắt OH ở I,cắt OM ở K.

a/ CM ; tư giác OPHQ nọi tiếp một đường tròn

b/ CMR; IH . IO = IQ . IP

c/CMR khi m thay đỏi trên d thì tích IP . IQ không đỏi

Answer 1

[Seu Vuon]

a) Tứ giác MPOQ có góc MPO = góc MQO = 90⁰ => MPOQ nội tiếp => góc PMO = góc PQO (1)

Tứ giác MPOH có MPO = góc MHO = 900 => MPOH nội tiếp => góc PMO = góc PHỐ (2) 

Từ (1) và (2) => góc PQO = góc PHO => OPHQ nội tiếp

b) Tam giác IOQ và tam giác IPH có góc OIQ = góc PIH (đđ); góc Q = góc H nên chúng đồng dạng 

=> IO/IP = IQ/IH => đpcm

c) Ta có OM là đường trung trực của PQ (vì OP =OQ ; MP = MQ) => OM vuông góc PQ tại K

Tam giác vuông OKI và tam giác vuông OHM có góc O chung nên đồng dạng => OK/OH = OI/OM

=> OK.OM = OI.OH (3)

Ta lại có tam giác OPM vuông tại P có PK là đường cao => OK.OM = OP² (4)

Từ (3) và (4) => OI.OH = OP². Mà OP, OH không đổi, nên OI không đổi . vậy I là điểm cố định

từ cmt IP.IQ = IO.IH suy ra IP.IQ không đổi