Hỏi quản lí cái:Chứng minh tồn tại vô số các số nguyên khác 0: x,y,z sao cho:\(x^5+8y^3+7z^2=0\)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Sử dụng phương pháp lùi vô hạn, chỉ việc nhân 2 vế của pt với 1 số nguyên có mũ là bội chung nhỏ nhất của số mũ các ẩn:
Gọi \(k\ne0\) là số nguyên bất kì, ta có:
\(x^5+8y^3+7z^3=0\Leftrightarrow k^{15}\left(x^5+8y^3+7z^3\right)=0\)
\(\Leftrightarrow k^{15}.x^5+8k^{15}y^3+7k^{15}z^3=0\)
\(\Leftrightarrow\left(k^3x\right)^5+8\left(k^5y\right)^3+7\left(k^5z\right)^3=0\)
Như vậy, với mỗi bộ số nguyên \(\left(x_0;y_0;z_0\right)\) bất kì thỏa mãn điều kiện đề bài thì bộ số nguyên \(\left(x_k;y_k;z_k\right)=\left(k^3.x_0;k^5y_0;k^5z_0\right)\) với \(k\) là số nguyên khác 0 bất kì cũng thỏa mãn điều kiện đề bài
\(\Rightarrow\) Có vô hạn bộ số nguyên thỏa mãn
Ví dụ, ta thấy \(\left(1;-1;1\right)\) là một bộ số nguyên thỏa mãn
Như vậy, mọi bộ số nguyên có dạng \(\left(k^3;-k^5;k^5\right)\) cũng thỏa mãn.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Với n= 3 , ,chọn x3 =y3 =1
Giả sử với n \(\ge\)3 , tồn tại cặp số nguyên dương lẻ ( xn ,yn ) sao cho 7.xn2 + y2n= 2n.Ta chứng minh mỗi cặp
\(\left(X=\frac{x_n+y_n}{2},Y=\frac{\left|7.x_n-y_n\right|}{2}\right)\),
\(\left(X=\frac{\left|x_n-y_n\right|}{2},Y=\frac{7.x_n\pm y_n}{2}\right)^2=2.\left(7.x_n^2+7_n^2\right)=2.2^n=2^{n+1}\)
Vì xn,yn lẻ nên xn = 2a+1 ; yn = 2k + 1 ( a,k \(\inℤ\))
\(\Rightarrow\frac{x_n+y_n}{2}=k+1+1\)và \(\frac{\left|x_n-y_n\right|}{2}=\left|k-1\right|.\)
Điều đó chứng tỏ rằng một trong các số \(\frac{x_n+y_n}{2}.\frac{\left|x_n+y_n\right|}{2}\)là lẻ .Vì vậy với n + 1 tồn tại các số tự nhiên lẻ xn+1 và yn+1 thỏa mãn 7.x2n+1 + y2n+1 =2n+1=> đpcm
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Câu hỏi của An Thi Yen Nhi - Toán lớp 7 - Học toán với OnlineMath
xem đi Đề thi vào THPT Chuyên tỉnh Nam Định năm học 2016-2017 - Tài liệu - Đề thi - Diễn đàn Toán học
Cái này đề chuyên PTTH, khó à nghen! Đọc link của bạn Thắng nhưng không thấy có lời giải, mạo muội post bài giải của mình nhờ các bạn góp ý giùm!
\(x^5+8y^3+7z^2=0\)(1)
Gán \(x=N^{6i};y=-N^{10i};z=N^{15i}\mid i\in N^+;N\in N^+\)vào vế trái của (1) ta được.
\(\left(N^{6i}\right)^5+8\left(-N^{10i}\right)^3+7\left(N^{15i}\right)^2=N^{30i}-8N^{30i}+7N^{30i}=0\)
Vậy, \(x=N^{6i};y=-N^{10i};z=N^{15i}\mid i\in N^+;N\in N^+\)x,y,x nguyên khác 0 là 1 họ nghiệm của (1).
Mà có vô số i thuộc N*; N thuộc N* nên có vô số số nguyên x,y,z khác 0 thỏa mãn \(x^5+8y^3+7z^2=0\)(ĐPCM)