1) CMR:
(ac+bd)^2 + (ad - bc)^2 = (a^2+b^2)(c^2+d^2)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
TN
21 tháng 6 2016
đây nè bạn CMR: (a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac+bd)^2+(ad-bc)^2? | Yahoo Hỏi & Đáp
GT
2
TA
30 tháng 6 2017
Ta có : (a2 + b2 ) . ( c2 + d2 )
= a2c2 + b2c2 + a2d2 + b2d2
= (a2c2 + 2abcd + b2d2) + (a2d2 - 2adbc + b2c2)
= (ac + bd)2 + (ad - bc)2
Vậy (a2 + b2 ) . ( c2 + d2 ) = ( ac + bd )2 + ( ad - bc )2 (đpcm)
Giúp tôi giải toán
7 tháng 8 2015
VP=(a^2)(c^2)+2abcd+(b^2)(d^2)+
+(a^2)(d^2)-2abcd+(b^2)(c^2)
=a^2(c^2+d^2)+b^2(d^2+c^2)
=(a^2+b^2)(c^2+d^2)=VT
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
13 tháng 11 2021
BĐT cần c/m tương đương:
\(2\left(a^3+b^3+c^3+d^3\right)\ge2+\dfrac{3}{2}\sqrt{4+2\left(ab+ac+ad+bc+bd+cd\right)}\)
\(\Leftrightarrow2\left(a^3+b^3+c^3+d^3\right)\ge2+\dfrac{3}{2}\sqrt{\left(a+b+c+d\right)^2}\)
\(\Leftrightarrow2\left(a^3+b^3+c^3+d^3\right)\ge2+\dfrac{3}{2}\left(a+b+c+d\right)\)
\(\Leftrightarrow4\left(a^3+b^3+c^3+d^3\right)\ge4+3\left(a+b+c+d\right)\)
Dễ dàng chứng minh điều này bằng AM-GM:
\(a^3+a^3+1+b^3+b^3+1+c^3+c^3+1+d^3+d^3+1\ge3a^2+3b^2+3c^2+3d^2\)
\(\Rightarrow2\left(a^3+b^3+c^3+d^3\right)+4\ge12\)
\(\Rightarrow a^3+b^3+c^3+d^3\ge4\) (1)
Lại có:
\(a^2+b^2+c^2+d^2\ge\dfrac{1}{4}\left(a+b+c+d\right)^2\)
\(\Rightarrow a+b+c+d\le4\) (2)
(1);(2) \(\Rightarrow4\left(a^3+b^3+c^3+d^3\right)\ge16\ge4+3.4\ge4+3\left(a+b+c+d\right)\) (đpcm)
PT
1
VT
22 tháng 9 2017
ta có \(\left(ad-bc\right)^2+\left(ac+bd\right)^2=a^2d^2-2abcd+b^2c^2+a^2c^2+2abcd+b^2d^2\)
\(=a^2d^2+a^2c^2+b^2d^2+b^2c^2=a^2\left(c^2+d^2\right)+b^2\left(c^2+d^2\right)=\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)\)
=> \(1+\left(ac+bd\right)^2=\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)\)
Áp dụng bất đẳng thức cô si ta có
\(\left(a^2+b^2\right)+\left(c^2+d^2\right)\ge2\sqrt{\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)}=2\sqrt{1+\left(ac+bd\right)^2}\)
=> \(a^2+b^2+c^2+d^2+ac+bd\ge2\sqrt{\left(ac+bd\right)^2+1}+ac+bd\)
đặt \(ac+bd=m\left(m\ge0\right)\)
=> \(S\ge m+2\sqrt{m^2+1}\)
ta cần chắng minh \(m+2\sqrt{m^2+1}\ge\sqrt{3}\Leftrightarrow m^2+4\left(m^2+1\right)+4m\sqrt{m^2+1}\ge3\)
\(\Leftrightarrow m^2+1+4m^2+4m\sqrt{m^2+1}\ge0\Leftrightarrow\left(\sqrt{m^2+1}+2m\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
=> \(S\ge\sqrt{3}\) (ĐPCM)
VT có:
(ac+bd)^2=ac^2+2acbd+bd^2
(ad-bc)^2=ad^2-2adbc+bc^2
Suy ra (ac+bd)^2+(ad-bc)^2=ac^2+ad^2+bc^2+bd^2
VP có:
(a^2+b^2)(c^2+d^2)=a^2.c^2+a^2.d^2+b^2.c^2+b^2.d^2=ac^2+ad^2+bc^2+bd^2
Do đó: (ac+bd)^2+(ad-bc)^2=(a^2+b^2)(c^2+d^2)