Cho tứ diện OABC có OA vuông góc (OBC) và OA=OB=2OC, \(\widehat{BOC}=60^o\). Gọi M là trung điểm của BC. Tính cosin giữa hai đường thẳng OM và AB?
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Tam giác OAB vuông cân tại O
\(\Rightarrow OM\perp AB\)
\(\Rightarrow\) cosin góc giữa 2 đường thẳng này bằng 0
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Đề bài có vấn đề gì không nhỉ?
Tam giác OAB vuông cân tại O nên OM là trung tuyến đồng thời là đường cao
\(\Rightarrow OM\perp AB\) hay góc giữa OM và AB bằng 90 độ (cosin góc giữa 2 đường thẳng bằng 0)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Đặt \(OA=OB=2OC=2a\)
\(\Rightarrow BC=\sqrt{OB^2+OC^2}=a\sqrt{5}\) \(\Rightarrow OM=\dfrac{1}{2}BC=\dfrac{a\sqrt{5}}{2}\)
Qua B kẻ đường thẳng song song OM cắt OC kéo dài tại D
\(\Rightarrow OM\) là đường trung bình tam giác BCD \(\Rightarrow BD=2OM=a\sqrt{5}\)
\(OM||BD\Rightarrow\left(OM;AB\right)=\left(BD;AB\right)=\widehat{ABD}\)
\(AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=2a\sqrt{2}\)
\(AD=\sqrt{OA^2+OD^2}=\sqrt{OA^2+OC^2}=a\sqrt{5}\)
\(\Rightarrow cos\widehat{ABD}=\dfrac{AB^2+BD^2-AD^2}{2AB.BD}=\dfrac{\sqrt{10}}{5}\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Bạn tự vẽ hình nhé!
Giả sử: OC = a ⇒ OB = 3/2a và OA = 3a
Xét tam giác OAB vuông tại O có: \(AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\dfrac{3\sqrt{5}}{2}a\)
\(\Rightarrow AM=BM=OM=\dfrac{1}{2}AB=\dfrac{3\sqrt{5}}{4}a\)
Xét tam giác OMA, có:
\(\cos\widehat{AOM}=\dfrac{OM^2+OA^2-AM^2}{2OM.OA}=\dfrac{OA}{2OM}=\dfrac{2\sqrt{5}}{5}\)
Xét tam giác OMB, có:
\(\cos\widehat{BOM}=\dfrac{OM^2+OB^2-BM^2}{2OM.OB}=\dfrac{OB}{2OM}=\dfrac{\sqrt{5}}{4}\)
Ta có: \(\overrightarrow{OM}.\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OM}\left(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}\right)=\overrightarrow{OM}.\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OM}.\overrightarrow{OA}\)
\(=\dfrac{3\sqrt{5}}{4}a.\dfrac{3}{2}a.\dfrac{2\sqrt{5}}{5}-\dfrac{3\sqrt{5}}{4}a.3a.\dfrac{\sqrt{5}}{4}=\dfrac{-9}{16}a^2\)
\(\Rightarrow\cos\widehat{\left(\overrightarrow{OM},\overrightarrow{AB}\right)=\dfrac{\overrightarrow{OM}.\overrightarrow{AB}}{OM.AB}=-\dfrac{1}{10}}\)
\(\Rightarrow cos\left(OM,AB\right)=\dfrac{1}{10}\)
Hicc, ở phần tính cos BOM mình bấm máy nhầm, bạn tự bấm lại nhé. :((((
Còn cả đoạn thay cos AOM và cos BOM vào tích vô hướng cũng bị lộn giữa 2 góc á.
Kết quả ra là 3/5 nhé!
Tự dưng giờ xem lại mới nhận ra lỗi sai nghiêm trọng này. Xin lỗi bạn nhé!
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Đặt
O
A
=
O
B
=
O
C
= a suy ra
Gọi N là trung điểm AC, ta có MN//AB. Khi đó
Trong tam giác OMN có nên OMN là tam giác đều
Chọn C.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Gọi N là trung điểm AC \(\Rightarrow MN||AB\Rightarrow\widehat{OMN}\) là góc giữa OM và AB
Đặt \(OA=a\)
\(AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{a^2+k^2a^2}=a\sqrt{k^2+1}\)
\(AC=\sqrt{OA^2+OC^2}=a\sqrt{k^2+1}\)
\(BC=\sqrt{OB^2+OC^2}=a.k\sqrt{2}\)
\(MN=\dfrac{1}{2}AB=\dfrac{a}{2}\sqrt{k^2+1}\) ; \(OM=\dfrac{BC}{2}=a.\dfrac{k\sqrt{2}}{2}\) ; \(ON=\dfrac{1}{2}AC=a.\dfrac{\sqrt{k^2+1}}{2}\)
\(cos\widehat{OMN}=cos60^0=\dfrac{OM^2+MN^2-ON^2}{2OM.MN}=\dfrac{1}{2}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a^2.\dfrac{k^2}{2}}{2.a^2.\dfrac{k\sqrt{2k^2+2}}{4}}=\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow2k=\sqrt{2k^2+2}\)
\(\Leftrightarrow4k^2=2k^2+2\Rightarrow k=1\)