cho a,b,c>0 và a.b.c=1. tìm GTNN của
P=(a+1).(b+1).(c+1)
NHỚ GIẢI THÍCH CHO DỄ HIỂU ĐỪNG CÓ (times,left,sqrt,...)NHÉ!
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NN
1
13 tháng 8 2016
Áp dụng bđt Cauchy , ta có :
\(P=\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)\ge2\sqrt{a}.2\sqrt{b}.2\sqrt{c}=8\sqrt{abc}=8\)
Dấu "=" xảy ra khi a = b = c = 1
Vậy Min P = 8 <=> a = b = c = 1
7 tháng 10 2016
Ta có:
\(\frac{a+b-c}{c}=\frac{b+c-a}{a}=\frac{c+a-b}{b}\)
\(=\frac{a+b}{c}-1=\frac{b+c}{a}-1=\frac{c+a}{b}-1\)
\(\Rightarrow\frac{a+b}{c}=\frac{b+c}{a}=\frac{c+a}{b}\)
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số = nhau ta có:
\(\frac{a+b}{c}=\frac{b+c}{a}=\frac{c+a}{b}=\frac{\left(a+b\right)+\left(b+c\right)+\left(c+a\right)}{c+a+b}=\frac{2.\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2\)
Ta có: \(B=\left(1+\frac{b}{a}\right).\left(1+\frac{a}{c}\right).\left(1+\frac{c}{b}\right)\)
\(B=\frac{a+b}{a}.\frac{a+c}{c}.\frac{b+c}{b}=\frac{\left(a+b\right).\left(a+c\right).\left(b+c\right)}{a.c.b}\)
\(B=\frac{a+b}{c}.\frac{a+c}{b}.\frac{b+c}{a}=2.2.2=8\)
NT
2
17 tháng 5 2016
Nhận xét: a;b;c >0 nên theo BĐT Cô - si, ta có:
\(a+1\ge2\sqrt{a}\)
\(b+1\ge2\sqrt{b}\)
\(c+1\ge2\sqrt{c}\)
=> \(\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)\ge2\sqrt{a}\times2\sqrt{b}\times2\sqrt{c}\)
<=> \(P\ge8\sqrt{abc}=8\times1=8\)
Vậy P đạt GTNN tại P=8 <=> a= b=c=1
17 tháng 5 2016
Nhận xét: a;b;c >0 nên theo BĐT Cô - si, ta có:
$a+1\ge2\sqrt{a}$
$b+1\ge2\sqrt{b}$$c+1\ge2\sqrt{c}$=> $\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)\ge2\sqrt{a}\times2\sqrt{b}\times2\sqrt{c}$<=> $P\ge8\sqrt{abc}=8\times1=8$Vậy P đạt GTNN tại P=8 <=> a= b=c=1
5 tháng 2 2022
\(không\) \(dùng\) \(bđt\) \(làm\) \(sao\) \(ra\) \(được\) ??
\(\sqrt{a^2+\dfrac{1}{b^2}}=\dfrac{1}{\sqrt{17}}.\sqrt{\left(1+4^2\right)\left(a^2+\dfrac{1}{b^2}\right)}\ge\dfrac{1}{\sqrt{17}}\left(a+\dfrac{4}{b}\right)\left(bunhiacopki\right)\)
\(tương-tự:\sqrt{b^2+\dfrac{1}{c^2}}\ge\dfrac{1}{\sqrt{17}}\left(b+\dfrac{4}{c}\right)\)
\(\sqrt{c^2+\dfrac{1}{a^2}}\ge\dfrac{1}{\sqrt{17}}\left(c+\dfrac{4}{a}\right)\)
\(\Rightarrow Q\ge\dfrac{1}{\sqrt{17}}\left(a+b+c+\dfrac{4}{a}+\dfrac{4}{b}+\dfrac{4}{c}\right)=\dfrac{1}{\sqrt{17}}\left[16a+\dfrac{4}{a}+16b+\dfrac{4}{b}+16c+\dfrac{4}{c}-15\left(a+b+c\right)\right]\)
\(bđt:cosi\Rightarrow16a+\dfrac{4}{a}\ge2\sqrt{16a.\dfrac{4}{a}}=2\sqrt{16.4}=16\)
\(tương-tự\Rightarrow16b+\dfrac{4}{b}\ge16;16c+\dfrac{4}{c}\ge16\)
\(có:a+b+c\le\dfrac{3}{2}\Rightarrow15\left(a+b+c\right)\le\dfrac{45}{2}\)
\(\Rightarrow-15\left(a+b+c\right)\ge-\dfrac{45}{2}\)
\(\Rightarrow Q\ge\dfrac{1}{\sqrt{17}}\left(16+16+16-\dfrac{45}{2}\right)=\dfrac{3\sqrt{17}}{2}\)
\(dấu"="xayra\Leftrightarrow a=b=c=\dfrac{1}{2}\)
các bước ban đầu dùng bunhia chọn được 1+4^2 là do dự đoán được trước điểm rơi tại a=b=c=1/2 thôi bạn,cả bước tách dùng cosi cũng dự đoán dc điểm rơi =1/2 nên tách đc thôi
5 tháng 2 2022
Tại sao lại k được dùng nhỉ? Trông khi dùng thì bài toán sẽ dễ giải quyết hơn
Áp dụng Bunhiacopxki:
\(\sqrt{\left(a^2+\dfrac{1}{b^2}\right)\left(\dfrac{1}{4}+4\right)}\ge\dfrac{a}{2}+\dfrac{2}{b}\)
\(\Rightarrow\sqrt{a^2+\dfrac{1}{b^2}}\ge\dfrac{2}{\sqrt{17}}\left(\dfrac{a}{2}+\dfrac{2}{b}\right)\)
Do đó:
\(Q\ge\dfrac{2}{\sqrt{17}}\left[\dfrac{a+b+c}{2}+2\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\right]\)
Ta có: \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{9}{a+b+c}\)
\(\Rightarrow Q\ge\dfrac{2}{\sqrt{17}}\left[\dfrac{a+b+c}{2}+\dfrac{18}{a+b+c}\right]\)
Áp dụng Cô-si:
\(\dfrac{a+b+c}{2}+\dfrac{9}{8\left(a+b+c\right)}\ge\dfrac{3}{2}\)
Do đó:
\(Q\ge\dfrac{2}{\sqrt{17}}\left[\dfrac{3}{2}+\dfrac{135}{8\left(a+b+c\right)}\right]\ge\dfrac{2}{\sqrt{17}}\left[\dfrac{3}{2}+\dfrac{135}{8.\dfrac{3}{2}}\right]=\dfrac{3\sqrt{17}}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{2}\)
2 tháng 12 2018
Ta có \(A=\left(1+\dfrac{1}{a}\right)\left(1+\dfrac{1}{b}\right)=1+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{ab}=1+\dfrac{a+b}{ab}+\dfrac{1}{ab}=1+\dfrac{a+b+1}{ab}=1+\dfrac{1+1}{ab}=1+\dfrac{2}{ab}\)
Áp dụng bđt cosi ta có
\(a+b\ge2\sqrt{ab}\Leftrightarrow ab\le\dfrac{\left(a+b\right)^2}{4}\Leftrightarrow ab\le\dfrac{1}{4}\Leftrightarrow\dfrac{2}{ab}\ge8\Leftrightarrow1+\dfrac{2}{ab}\ge9\Leftrightarrow A\ge9\)
Dấu bằng xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}a=b\\a+b=1\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\)\(a=b=0,5\)
Vậy GTNN của A là 9 và xảy ra khi a=b=0,5
MS
2 tháng 12 2018
\(A=\left(1+\dfrac{1}{a}\right)\left(1+\dfrac{1}{b}\right)\)
\(A=1+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{ab}\)
\(A=1+\dfrac{a+b}{ab}+\dfrac{1}{ab}\)
Mà a+b=1
nên \(A=1+\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{ab}=1+\dfrac{2}{ab}\)
Ta có:
a+b=1
Áp dụng bđt Cosi
\(a+b\ge2\sqrt{ab}\Rightarrow1\ge2\sqrt{ab}\)
\(\Rightarrow1\ge4ab\Leftrightarrow ab\le\dfrac{1}{4}\)
Ta có:
\(A=1+\dfrac{2}{ab}\ge1+\dfrac{\dfrac{2}{1}}{4}=1+8=9\)
Dấu bằng xảy ra khi \(\) \(\left\{{}\begin{matrix}a+b=1\\a=b\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow a=b=\dfrac{1}{2}\)
S
0
6 tháng 5 2018
vì a;b;c >0\(\Rightarrow P=\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)>=2\sqrt{a}2\sqrt{b}2\sqrt{c}=8\cdot\sqrt{abc}=8\cdot1=8\)(bđt cosi)
dấu = xảy ra khi \(a=b=c=1\)
vậy min của P là 8 khi a=b=c=1
6 tháng 5 2018
Bạn có thể tham khảo tại:
https://olm.vn/hoi-dap/question/922685.html
Chúc bạn học giỏi
NH
1