Cho a,b,c là 3 số dương bất kì thoả mãn hệ thức (a+b)(a+c)(b+c)=8abc. Cmr a=b=c
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM:
$\text{VT}=\sqrt{ab+c(a+b+c)}+\sqrt{bc+a(a+b+c)}+\sqrt{ca+b(a+b+c)}$
$=\sqrt{(c+a)(c+b)}+\sqrt{(a+b)(a+c)}+\sqrt{(b+a)(b+c)}$
$\leq \frac{c+a+c+b}{2}+\frac{a+b+a+c}{2}+\frac{b+a+b+c}{2}$
$=2(a+b+c)=2$
Ta có đpcm.
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{3}$
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Ta chứng minh điều ngược lại đúng mà đây là BĐT Nesbitt tìm trên mạng đầy cách c/m
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Ta có: \(\dfrac{a^3+ab^2}{a^2+b+b^2}=a-\dfrac{ab}{a^2+b+b^2}\ge a-\dfrac{\sqrt[3]{a}}{3}\)
Tương tự:
\(\Rightarrow VT\ge a+b+c-\dfrac{\Sigma\sqrt[3]{a}}{3}=3-\dfrac{\Sigma\sqrt[3]{a}}{3}\)
Áp dụng BĐT cô si chi 3 số dương, ta có:
\(a+1+1\ge3\sqrt[3]{a}\Rightarrow\dfrac{\sqrt[3]{a}}{3}\le\dfrac{a+2}{9}\)
Tương tự:
\(\Rightarrow VT\ge3-\dfrac{a+b+c+6}{9}=3-1=2\left(đpcm\right)\)
Dấu "=" xảy ra <=> a=b=c=1
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Bài 1:
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky ta có:
$(a^2+b^2+c^2)(1+1+1)\geq (a+b+c)^2$
$\Leftrightarrow 3(a^2+b^2+c^2)\geq 1$
$\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\geq \frac{1}{3}$ (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{3}$
Bài 2:
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
$(a^2+4b^2+9c^2)(1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9})\geq (a+b+c)^2$
$\Leftrightarrow 2015.\frac{49}{36}\geq (a+b+c)^2$
$\Leftrightarrow \frac{98735}{36}\geq (a+b+c)^2$
$\Rightarrow a+b+c\leq \frac{7\sqrt{2015}}{6}$ chứ không phải $\frac{\sqrt{14}}{6}$ :''>>
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Áp dụng BĐT AM - GM:
\(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\); \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}\)
\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge9\)
\(\Rightarrow3\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge9\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge3\)
áp dụng bất đẳng thức cô si ta có
(a+b)(b+c)(c+a) >= \(2\sqrt{ab}\cdot2\sqrt{bc}\cdot2\sqrt{ca}=8\sqrt{\left(abc\right)^2}=8abc\)
dấu = xảy ra <=> a=b=c
vậy (a+b)...=8abc <=> a=b=c