tim tat ca cac bo ba so (x,y,z) thoa man x+y=1+\(\sqrt{z}\) va 2x.y=1+z
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
SH
0
T
0
PD
0
PN
14 tháng 3 2016
Áp dụng bất đẳng thức cho ba số \(x,y,z\in Z^+\), ta được
\(x^2+y^2\ge2xy\) \(\Rightarrow\) \(\frac{x+y}{x^2+y^2}\le\frac{x+y}{2xy}\) \(\left(1\right)\)
\(y^2+z^2\ge2yz\) \(\Rightarrow\) \(\frac{y+z}{y^2+z^2}\le\frac{y+z}{2yz}\) \(\left(2\right)\)
\(z^2+x^2\ge2xz\) \(\Rightarrow\) \(\frac{z+x}{z^2+x^2}\le\frac{z+x}{2xz}\) \(\left(3\right)\)
Cộng từng vế của \(\left(1\right);\) \(\left(2\right)\) và \(\left(3\right)\) ta được \(\frac{x+y}{x^2+y^2}+\frac{y+z}{y^2+z^2}+\frac{z+x}{z^2+x^2}\le\frac{x+y}{2xy}+\frac{y+z}{2yz}+\frac{z+x}{2xz}=\frac{1}{2y}+\frac{1}{2x}+\frac{1}{2z}+\frac{1}{2y}+\frac{1}{2x}+\frac{1}{2z}\)
\(\Leftrightarrow\) \(P\le\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=2015\)
Dấu \("="\) xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=z=\frac{3}{2015}\)
Vậy, \(P_{max}=2015\) \(\Leftrightarrow\) \(x=y=z=\frac{3}{2015}\)
Từ giả thiết => có: x + y = 1 + \(\sqrt{z}\) và x.y = (1 + z) /2
Theo định lí Vi-ét => x và y là nghiệm của PT: t2 - (1 + \(\sqrt{z}\) )t + (1 + z) /2 = 0 (1)
\(\Delta=\left(1+\sqrt{z}\right)^2-4.\frac{1+z}{2}=1+2\sqrt{z}+z-2-2z=-1+2\sqrt{z}-z=-\left(1-\sqrt{z}\right)^2\)
Dễ thấy \(\Delta\)luôn \(\le\)0 => Để có nghiệm (x; y) => \(\Delta\)=0 => Z = 1
Với z = 1 => PT (1) có dạng: t2 - 2t + 1 = 0 <=> (t - 1)2=0
PT này cho nghiệm kép t1 = t2 = 1 => x = y = 1
Vậy tìm được Bộ ba số (x;y;z) = (1;1;1) thoả mãn đề ra.