Cho a,b,c là các số thực thoả a>=b>=c. Chứng minh a^2-b^2+c^2>=(a-b+c)^2
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
HQ
20 tháng 2 2021
Đặt\(P=\dfrac{a}{1+b^2}+\dfrac{b}{1+c^2}+\dfrac{c}{1+a^2+}+\dfrac{1}{2}\left(ab+bc+ca\right)\)
Bổ đề: \(\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\ge9\) \(\Rightarrow\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{9}{a+b+c}\) (1)
Chứng minh bổ đề: \(\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\ge9\sqrt[3]{abc.\dfrac{1}{abc}}=9\left(\forall a,b,c\ge0\right)\)
Kết hợp điều kiện đề bài ta được: \(a+b+c\ge3\)
Ta có: \(\dfrac{ab^2}{1+b^2}\le\dfrac{ab^2}{2\sqrt{b^2}}=\dfrac{ab}{2}\) ( AM-GM cho 2 số không âm 1 và b^2 )
\(\Rightarrow\dfrac{a}{1+b^2}=a-\dfrac{ab^2}{1+b^2}\ge a-\dfrac{ab}{2}\left(1\right)\)
Chứng minh hoàn toàn tương tự: \(\dfrac{b}{1+c^2}\ge b-\dfrac{bc}{2}\left(2\right)\)
\(\dfrac{c}{1+a^2}\ge c-\dfrac{ca}{2}\left(3\right)\)
Cộng (1),(2),(3) vế theo vế thu được: \(P\ge a+b+c=3\)
Dấu "=" xảy ra tại a=b=c=1
iải của
20 tháng 3 2022
Bất đẳng thức sai, chẳng hạn với \(a=b=10^{-4};c=0,5-a-b\).
18 tháng 10 2016
Trước hết bạn chứng minh : \(a^2+b^2+c^2\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\Rightarrow a+b+c\le\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}\) (Chứng minh bằng biến đổi tương đương)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có : \(\frac{1}{2-a}+\frac{1}{2-b}+\frac{1}{2-c}\ge\frac{9}{6-\left(a+b+c\right)}\ge\frac{9}{6-\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}}=\frac{9}{6-3}=3\)
TN
18 tháng 10 2016
Dễ thấy \(0< a,b,c< 2\)
Ta có:
\(\frac{1}{2-a}\ge\frac{a^2+1}{2}\Leftrightarrow a\left(a-1\right)^2\ge0\)
Tương tự với các cái tương tự, ta được:
\(\frac{1}{2-a}+\frac{1}{2-b}+\frac{1}{2-c}\ge\frac{a^2+1+b^2+1+c^2+1}{2}=3\)(Đpcm)
Dấu = khi a=b=c=1
25 tháng 5 2021
Áp dụng BĐT cosi:
\(a\sqrt{1-b^2}=\sqrt{a^2\left(1-b^2\right)}\le\dfrac{a^2+1-b^2}{2}\)
Tương tự cx có: \(b\sqrt{1-c^2}\le\dfrac{b^2+1-c^2}{2}\)
\(c\sqrt{1-a^2}\le\dfrac{c^2+1-a^2}{2}\)
Cộng vế với vế \(\Rightarrow VT\le\dfrac{3}{2}\)
Dấu = xảy ra <=> \(\left\{{}\begin{matrix}a^2=1-b^2\\b^2=1-c^2\\c^2=1-a^2\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2=3-\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2=\dfrac{3}{2}\) (đpcm)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
2 tháng 3 2023
Do \(0\le a;b;c\le2\)
\(\Rightarrow abc+\left(2-a\right)\left(2-b\right)\left(2-c\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow2\left(ab+bc+ca\right)-4\left(a+b+c\right)+8\ge0\)
\(\Leftrightarrow2\left(ab+bc+ca\right)\ge4\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^2-\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge4\)
\(\Leftrightarrow9-\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge4\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\le5\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left(a;b;c\right)=\left(0;1;2\right)\) và các hoán vị
VT
25 tháng 10 2019
a=c+2; b= c+1; c>0 => a;b >0
\(2\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)< \frac{1}{\sqrt{b}}< =>2\sqrt{a}< 2\sqrt{b}+\frac{1}{\sqrt{b}};\)
2 vế không âm, bình phương và rút gọn ta được \(4a< 4b+4+\frac{1}{b}< =>4\left(b+1\right)< 4\left(b+1\right)+\frac{1}{b}< =>0< \frac{1}{b};\)(đúng vì b>0)
\(\frac{1}{\sqrt{b}}< 2\left(\sqrt{b}-\sqrt{c}\right)< =>\frac{1}{\sqrt{b}}+2\sqrt{b}< 2\sqrt{c}\)
bình phương và thay b= c+1 ta được điều tương tự
a2 - b2 + c2 >= (a - b + c)2 (*)
<=> a2 - b2 + c2 >= a2 + b2 + c2 - 2ab - 2bc + 2ac
<=> 2ab + 2bc - 2ac - 2b2 >= 0
<=> ab + bc - ac - b2 >= 0
<=> (a - b)(b - c) >= 0 (luôn đúng do a >= b >= c)
--> (*) được chứng minh
--> đpcm