chứng minh rằng nếu a và b nguyên tố cùng nhau thì 7a+5b và 4a+3b nguyên tố cùng nhau
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NN
3
4 tháng 1 2019
Giả sử d là ước nguyên tố của ab và a+b
=> ab chia hết cho d và a+b chai hết cho d
Vì ab chia hết cho d => \(a⋮d\) và \(b⋮d\) (Vì d là số nguyên tố)
Do vai trò của a và b bình đẳng nên:
Giả sử : a chia hết cho d => b chia hết cho d ( vì a+b chia hết cho d)
=> d \(\in\) UC(a,b) . Mà ƯCLN( a,b) = 1
=> d = 1 ( trái với d là số nguyên tố)
Do đó ab và a+b không thể có ước nguyên chung
=> ƯCLN ( ab, a+b) = 1
4 tháng 1 2019
Gọi d là UCLN(7a + 5b; 4a + 3b)
Ta có: 7a+ 5b chia hết cho d, 4a + 3b chia hết cho d
\(\Rightarrow28a+20b⋮d,28a+21b⋮d\left(1\right)\)
\(21a+15b⋮d,20a+15b⋮d\left(2\right)\)
Trừ từng của (1) và (2), ta có: \(a⋮d,b⋮d\)
Mà a và b là 2 số nguyên tố cùng nhau => d = 1
=> 7a + 5b và 4a + 3b là 2 số nguyên tố cùng nhau
Chúc em học tốt!!!
AH
Akai Haruma
Giáo viên
30 tháng 11 2023
Lời giải:
Phản chứng. Giả sử 2 số đó không nguyên tố cùng nhau.
Gọi $d=ƯCLN(5a+2b, 7a+3b), d> 1$
$\Rightarrow 5a+2b\vdots d; 7a+3b\vdots d$
$\Rightarrow 5(7a+3b)-7(5a+2b)\vdots d$
$\Rightarrow b\vdots d$
Mà $5a+2b\vdots d$ nên $5a\vdots d$
Vì $(a,b)=1$ nên $(a,d)=1$
$\Rightarrow 5\vdots d$. Mà $d>1$ nên $d=5$
$5a+2b\vdots 5\Rightarrow 2b\vdots 5\Rightarrow b\vdots 5$
$$7a+3b\vdots 5; b\vdots 5\Rightarrow 7a\vdots 5\Rightarrow a\vdots 5$
$\Rightarrow a,b\vdots 5$ (vô lý)
Vậy điều giả sử là sai. Tức 2 số đó ntcn.
29 tháng 11 2015
Gọi d là ƯCLN của 11a +2b và 18a +5b
=> 11a +2b chia hết cho d và 18a +5b chia hết cho d
=> 18.(11a + 2b) chia hết cho d và 11(18a + 5b) chia hết cho d
=> 11(18a + 5b) - 18.(11a + 2b) chia hết cho d
=> 19 b chia hết cho d => 19 chia hết cho d hoặc b chia hết cho d (1)
=> d là ước của 19 hoặc d là ước của b
Tương tự ta cũng có 5.(11a + 2b) chia hết cho d và 2(18a + 5b) chia hết cho d
=> 5.(11a + 2b) - 2(18a + 5b) chia hết cho d
=> 19a chia hết cho d => 19 chia hết cho d hoặc a chia hết cho d => d là ước của 19 hoặc d là ước của a(2)
Từ (1) và (2) suy ra d là ước của 19 hoặc d là ước chung của a và b => d = 19 hoặc d = 1
Vậy ƯCLN của 11a + 2b và 18a + 5b là 19 hoặc 1
29 tháng 11 2015
Đặt A = 18a + 5b
B =11a + 2b
gọi d = UCLN( A;B)
11A - 18B = 11 (18a+5b) - 18 ( 11a +2b) = 11.18a + 55 b - 18.11a - 36b = 19b chia hết cho d
=> d thuộc {1 ; 19 ; b ; 19b}
Vì (A;B) =1 => d khác b ; 19b
=> d thuộc {1;19}
NT
0
Gọi d là ƯC của 7a+5b và 4a+3b. Ta có:
7a+5b chia hết cho d \(\Rightarrow\)4(7a+5b) chia hết cho d \(\Rightarrow\)28a+20b chia hết cho d
4a+3b chia hết cho d \(\Rightarrow7\left(4a+3b\right)\)chia hết cho d \(\Rightarrow28a+21b\) chia hết cho d
Suy ra: (28a+21b) - (28a+20b) chia hết cho d
\(\Leftrightarrow28a+21b-28a-20b\) chia hết cho d
\(\Leftrightarrow1\) chia hết cho d
\(\Rightarrow\)d = {+1; -1}
Vậy 7a+5b và 4a+3b là 2 số nguyên tố cùng nhau