K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

29 tháng 10 2023

 a) Tam giác ABM vuông tại A có đường cao AC nên \(BC.BM=BA^2\). CMTT, \(BD.BN=BA^2\) nên \(BC.BM=BD.BN\Leftrightarrow\dfrac{BM}{BD}=\dfrac{BN}{BC}\). Từ đây dễ dàng suy ra \(\Delta BNM~\Delta BCD\left(c.g.c\right)\) (đpcm)

 b) Ta có OQ//BN, OP//BM, mà \(MB\perp NB\) nên suy ra \(OP\perp BN\), từ đó O là trực tâm tam giác BPN.\(\Rightarrow ON\perp BP\)

 Lại có \(QH\perp BP\) nên QH//ON.

Tam giác AON có Q là trung điểm AN, QH//ON nên H là trung điểm OA \(\Rightarrow AH=\dfrac{OA}{2}=\dfrac{R}{2}\) không đổi.

14 tháng 4 2019

a, ta có: ^BAD+^DBA=90 độ

^AFB+^ABF=90 độ

=> ^BAD= ^BFA( đpcm)

b, ta có: ^DAB= góc DCB( gnt cùng chắn cung DB)

=> ^AFD= góc DCB( do câu a)

mà ^DCB+ ^DCE=180 độ ( kề bù)

=> ^AFD+^DCE=180 độ

Xét tứ giác CDFE có: ^ EFD+ ^DCE= 180  độ

=> tứ giác CDFE nội tiếp đường tròn

góc MAI+góc MEI=180 độ

=>MAIE nội tiếp

Cho đường tròn \(\left(O;R\right)\) và 2 đường kính \(AB\) và \(CD\) sao cho tiếp tuyến tại \(A\) của đường tròn \(\left(O;R\right)\) cắt các đường thẳng \(BC\) và \(BD\) tại hai điểm tương ứng là \(E\) và \(F\). Gọi \(P\) và \(Q\) lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng \(AE\) và \(AF\). \(a\)) Chứng minh rằng trực tâm \(H\) của tam giác \(BPQ\) là trung điểm của đoạn thẳng \(OA\). \(b\)) Gọi \(\alpha\) là số đo góc...
Đọc tiếp

Cho đường tròn \(\left(O;R\right)\) và 2 đường kính \(AB\) và \(CD\) sao cho tiếp tuyến tại \(A\) của đường tròn \(\left(O;R\right)\) cắt các đường thẳng \(BC\) và \(BD\) tại hai điểm tương ứng là \(E\) và \(F\). Gọi \(P\) và \(Q\) lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng \(AE\) và \(AF\).
\(a\)) Chứng minh rằng trực tâm \(H\) của tam giác \(BPQ\) là trung điểm của đoạn thẳng \(OA\).
\(b\)) Gọi \(\alpha\) là số đo góc \(BFE\). Hai đường kính \(AB\)\(CD\)​ thỏa mãn điều kiện gì thì biểu thức: \(P=\sin^6\alpha+\cos^6\alpha\) đạt giá trị nhỏ nhất? Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
\(c\)) Chứng minh các hệ thức sau: \(CE\cdot DF\cdot EF=CD^3\) và \(\dfrac{BE^3}{BF^3}=\dfrac{CE}{DF}\)

1
12 tháng 11 2023

a) Định nghĩa lại H là trung điểm OA. Ta thấy OQ là đường trung bình của tam giác ABF nên OQ//BF. Hơn nữa \(BF\perp BE\) nên \(OQ\perp BE\). Lại có \(BA\perp QE\) nên O là trực tâm của tam giác BEQ \(\Rightarrow OE\perp BQ\)

 Mặt khác, PH là đường trung bình của tam giác AOE nên PH//OA. Do đó, \(PH\perp BQ\). Lại thấy rằng \(BH\perp PQ\) nên H là trực tâm tam giác BPQ (đpcm)

 b) Ta có \(P=\sin^6\alpha+\cos^6\alpha\) 

\(=\left(\sin^2\alpha\right)^3+\left(\cos^2\alpha\right)^3\)

\(=\left(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha\right)\left(\sin^4\alpha+\cos^4\alpha-\sin^2\alpha\cos^2\alpha\right)\)

\(=1.\left[\left(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha\right)^2-3\sin^2\alpha\cos^2\alpha\right]\)

\(=1-3\sin^2\alpha\cos^2\alpha\)

\(\le1-3.\dfrac{\left(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha\right)^2}{4}\)

\(=\dfrac{1}{4}\)

 Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\sin\alpha=\cos\alpha\) \(\Leftrightarrow\alpha=45^o\) hay 2 dây AB, CD vuông góc với nhau.

Vậy \(min_P=\dfrac{1}{4}\)

c) Ta có \(\left\{{}\begin{matrix}EC.EB=EA^2\\FD.FB=FA^2\end{matrix}\right.\)  (hệ thức lượng trong tam giác vuông)

\(\Rightarrow EC.EB.FD.FB=\left(EA.FA\right)^2\)

\(\Rightarrow EC.FD.\left(EB.DB\right)=AB^4\)

\(\Rightarrow EC.FD.\left(EF.AB\right)=AB^4\)

\(\Rightarrow EC.FD.EF=AB^3=CD^3\) (đpcm)

Ta có \(EC.DF=AC.AD=BC.BD\)

\(\Rightarrow\dfrac{EC}{DF}=\dfrac{BC.BD}{DF^2}\) 

\(=\dfrac{BC}{DF}.\dfrac{BD}{DF}\) 

\(=\dfrac{BE}{BF}.\dfrac{AC}{DF}\) 

\(=\dfrac{BE}{BF}.\dfrac{AE}{AF}\)

\(=\left(\dfrac{BE}{BF}\right)^3\)

Ta có đpcm.

Bài khá căng đấy

a: H và I đối xứng nhau qua AB

nên AB vuông góc với HI tại trung điểm của HI

=>AB là phân giác của góc IAH(1)

H đối xứng K qua AC

nên AC vuông góc HK tại trung điểm của HK

=>AC là phân giác của góc HAK(2)

Từ (1), (2) suy ra góc IAK=2*90=180 độ

=>I,A,K thẳng hàng

b: 1/BH^2-1/AN^2=1/AB^2

=>(AN^2-BH^2)/(AN^2*BH^2)=1/AB^2

CA/AN=CH/HB

=>AN/CA=HB/HC=k

=>AN=k*CA; HB=k*HC

\(\dfrac{AN^2-BH^2}{AN^2\cdot BH^2}=\dfrac{k^2\cdot CA^2-k^2\cdot HC^2}{k^2\cdot CA\cdot HC}=\dfrac{CA^2-HC^2}{CA\cdot HC}=\dfrac{AH^2}{AC\cdot HC}=\dfrac{HB}{AC}\)

\(\dfrac{1}{AB^2}=\dfrac{HB}{AC}\Leftrightarrow AB^2\cdot HB=AC\)

=>\(BH^2\cdot HC=AC\Leftrightarrow BH^2=\dfrac{AC}{HC}\)(vô lý)

=>Đề câu b sai nha bạn