cho tam giác ABC điểm O nằm trong tam giác. chứng minh rằng tổng khoảng cách từ O tới 3 đỉnh của tam giác lớn hơn nửa chu vi của tam giác
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
áp dụng đ/lý bất đẳng thức ta có: MA < MI + IA
=> MA + MB < MI + IA + MB
=> MA + MB < IB + IA (1)
tương tự ta có: IB < IC + BC
=> IB + IA < IC + BC + IA
=> IB + IA < AC + BC (2)
từ (1) và (2) => MA + MB < AC + BC (3)
tương tự ta cũng có: MA + MC < AB + BC (4)
MB + MC < AB + AC (5)
cộng theo vế (3) ; (4) ; (5) ta có:
MA + MB + MA + MC + MB + MC < AC + BC+ AB + BC + AB + AC
2( MA + MB + MC) < 2( AB + AC + BC)
MA + MB + MC < AB + AC + BC ( vì cùng chia 2 vế cho 2) (6)
áp dụng đ/lý bất đẳng thức tam giác ta có:
AB < MA + MB
AC < MA + MC
BC < MC + MB
cộng theo vế của các bất đẳng thức trên ta có:
AB + AC + BC < MA + MB + MA + MC + MC + MB
AB + AC + BC < 2( MA + MB + MC)
AB + AC + BC / 2 MA + MB + MC ( chia cả 2 vế cho 2) (7)
từ (6) và (7) => AB + AC + BC / 2< MA + MB + MC < AB + AC + BC
vậy MA + MA + MC lớn hơn nửa chu vi và nhỏ hơn chu vi tam giác ABC
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Trong ΔAMB, ta có:
MA + MB > AB (bất đẳng thức tam giác) (1)
Trong ΔAMC, ta có:
MA + MC > AC (bất đẳng thức tam giác) (2)
Trong ΔBMC, ta có:
MB + MC > BC (bất đẳng thức tam giác) (3)
Cộng từng vế (1), (2) và (3), ta có:
MA + MB + MA + MC + MB + MC > AB + AC + BC
⇔ 2(MA + MB + MC) > AB + AC + BC
Vậy MA + MB + MC > (AB + AC + BC) / 2
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
(h.45) Xét \(\Delta ABM:\)MA+MB>AB (1)
Xét \(\Delta AMC:\) MA+MC>AC (2)
Xét \(\Delta BMC:\) MB+MC>BC (3)
Cộng từng vế (1), (2), (3):
2(MA+MB+MC)>\(\text{AB+AC+BC}\)
Suy ra :
MA+MB+MC>\(\dfrac{\text{AB+AC+BC}}{2}\)