Question

[minh anh]

biết a¹⁰ +b¹⁰=a¹¹+b¹¹=a¹²+b¹²

tính a²⁰¹²+b²⁰¹²

Answer 1

[Phước Nguyễn]

Các bước biển đổi:

\(a^{12}+b^{12}=a^{12}+a^{11}.b+a.b^{11}+b^{12}-a^{11}.b-a.b^{11}\)

                    \(=a^{11}\left(a+b\right)+b^{11}\left(a+b\right)-ab\left(a^{10}+b^{10}\right)\)

\(a^{12}+b^{12}=\left(a+b\right)\left(a^{11}+b^{11}\right)-ab\left(a^{10}+b^{10}\right)\)  \(\left(1\right)\)

Vì  \(a^{10}+b^{10}=a^{11}+b^{11}=a^{12}+b^{12}\)  (theo giả thiết)

nên từ  \(\left(1\right)\)  \(\Rightarrow\)  \(a^{12}+b^{12}=\left(a+b\right)\left(a^{12}+b^{12}\right)-ab\left(a^{12}+b^{12}\right)\)

                    \(\Leftrightarrow\)   \(a^{12}+b^{12}=\left(a^{12}+b^{12}\right)\left(a+b-ab\right)\)

                    \(\Leftrightarrow\)   \(a+b-ab=1\)

                    \(\Leftrightarrow\)   \(a-ab+b-1=0\)

                    \(\Leftrightarrow\)   \(a\left(1-b\right)-\left(1-b\right)=0\)

                    \(\Leftrightarrow\)   \(\left(1-b\right)\left(a-1\right)=0\)

                    \(\Leftrightarrow\)   \(1-b=0\)  hoặc  \(a-1=0\)

                    \(\Leftrightarrow\)   \(a=1\)  hoặc  \(b=1\)

\(\text{*)}\)  Nếu  \(a=1\)  thì  \(b^{10}=b^{11}=b^{12}\)  và  \(b>0\)  nên  \(b=1\)

\(\text{*)}\)  Tương tự với trường hợp  \(b=1\)  thì  \(a^{10}=a^{11}=a^{12}\)  và  \(a>0\)  nên ta cũng được  \(a=1\)

Do đó,  \(a=b=1\)

Vậy,  \(a^{2012}+b^{2012}=1^{2012}+1^{2012}=1+1=2\)