Cho các số dương a và b thỏa mãn a + b = 1. Chứng minh rằng \(\left(1+\frac{1}{a}\right)\left(1+\frac{1}{b}\right)\ge9\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
DL
12 tháng 4 2019
Ta có \(\left(1+\frac{1}{a}\right)\left(1+\frac{1}{b}\right)\ge9\) (1)
\(\Leftrightarrow\frac{a+1}{a}.\frac{b+1}{b}\ge9\)
\(\Leftrightarrow ab+a+b+1\ge9ab\) (vì ab > 0)
\(\Leftrightarrow a+b+1\ge8ab\Leftrightarrow2\ge8ab\) (vì a + b = 1)
\(\Leftrightarrow1\ge4ab\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\) (vì a + b = 1)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\) (2)
Bất đẳng thức (2) đúng, mà các phép biến đổi trên tương đương, vậy bất đẳng thức (1) được chưng minh.
7 tháng 2 2020
1+1/a= 1+ (a+b)/a = 2+b/a
tương tự: 1+1/b= 2+a/b
nhân 2 đa thức với nhau đc : 5+2a/b+2b/a=5+2(a/b+b/a)
áp dụng bđt cô si a/b+b/a >=2 =) 5+2(a/b+b/a)>=9 (dấu = xảy ra khi a-b=1/2)
15 tháng 11 2017
ta có: \(\frac{a}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)}+\frac{b}{\left(b+1\right)\left(c+1\right)}+\frac{c}{\left(c+1\right)\left(a+1\right)}.\)
\(\ge3\sqrt[3]{\frac{a.b.c}{\left(a+1\right)^2.\left(b+1\right)^2.\left(c+1\right)^2}}=\frac{3}{\sqrt[3]{\left(a+1\right)^2.\left(b+1\right)^2.\left(c+1\right)^2}}\) (vì abc=1) (*)
Mặt khác: \(\left(a+1\right)^2.\left(b+1\right)^2.\left(c+1\right)^2\ge64abc=64=4^3\) (vì abc=1)
=> \(\sqrt[3]{\left(a+1\right)^2.\left(b+1\right)^2.\left(c+1\right)^2}\ge4\) (**)
Từ (*), (**)=> đpcm
PG
12 tháng 2 2020
Bạn dưới kia làm ngược dấu thì phải,mà bài này hình như là mũ 3
\(\frac{a^3}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)}+\frac{a+1}{8}+\frac{b+1}{8}\ge3\sqrt[3]{\frac{a^3\left(a+1\right)\left(b+1\right)}{64\left(a+1\right)\left(b+1\right)}}=\frac{3a}{4}\)
Tương tự rồi cộng lại:
\(RHS+\frac{2\left(a+b+c\right)+6}{8}\ge\frac{3\left(a+b+c\right)}{4}\)
\(\Leftrightarrow RHS\ge\frac{3}{4}\) tại a=b=c=1
20 tháng 6 2020
\(\frac{1}{\left(1+a\right)^2}+\frac{1}{\left(1+b\right)^2}+\frac{1}{\left(1+b\right)^2}+\frac{2}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)}\ge1\)
<=> \(\left(1+b\right)^2\left(1+c\right)^2+\left(1+a\right)^2\left(1+b\right)^2+\left(1+a\right)\left(1+c\right)^2\)
\(+2\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)\ge\left(1+a\right)^2\left(1+b\right)^2\left(1+c\right)^2\)
<=> \(a^2+b^2+c^2\ge3\)đúng vì \(a^2+b^2+c^2\ge3\sqrt[3]{\left(abc\right)^2}=3\)
Dấu "=" xảy ra <=> a = b = c = 1
3 tháng 2 2021
bânnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn
ND
Nguyễn Đăng Nhân
CTVHS
23 tháng 2 2022
Vì \(abc=1\)nên trong 3 số a,b,c luôn có 2 số nằm cùng phía so với 1.
Không mất tính tổng quát ta giả sử 2 số đó là a và b, khi đó ta có:
\(\left(1-a\right)\left(1-b\right)\ge0\Leftrightarrow a+b\le1+ab=\frac{c+1}{c}\)
Do đó ta được:
\(\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)=\left(1+a+b+ab\right)\left(c+1\right)\)
\(=2\left(1+ab\right)\left(1+c\right)\le\frac{2\left(c+1\right)^2}{c}\)
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:
\(\frac{1}{\left(1+a\right)^2}+\frac{1}{\left(1+b\right)^2}\ge\frac{1}{\left(1+ab\right)\left(1+\frac{a}{b}\right)}+\frac{1}{\left(1+ab\right)\left(1+\frac{b}{a}\right)}\)
\(=\frac{b}{\left(1+ab\right)\left(a+b\right)}+\frac{a}{\left(1+ab\right)\left(a+b\right)}=\frac{1}{1+ab}=\frac{c}{c+1}\)
Do đó ta được:
\(\frac{1}{\left(1+a\right)^2}+\frac{1}{\left(1+b\right)^2}+\frac{1}{\left(1+c\right)^2}+\frac{2}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)}\)
\(\ge\frac{c}{c+1}+\frac{1}{\left(c+1\right)^2}+\frac{c}{\left(c+1\right)^2}=\frac{c\left(c+1\right)+1+c}{\left(c+1\right)^2}=1\)
Như vậy bất đẳng thức ban đầu được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi \(a=b=c=1\).
31 tháng 3 2021
(
hhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhh
hhhhhhhhhhhhhhhhh
hhhhhhhhhhhhhhhhhh
hhhhhhhhhhhhhhh
hhhhhhhhhhhhh
Đặt A = \(\left(1+\frac{1}{a}\right)\left(1+\frac{1}{b}\right)\)
A = \(\left(1+\frac{a+b}{a}\right)\left(1+\frac{a+b}{b}\right)\)(Vì a + b = 1)
A = \(\left(2+\frac{b}{a}\right)\left(2+\frac{a}{b}\right)\)
A = \(4+\frac{2a}{b}+\frac{2b}{a}+1\)
A = \(5+2\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)\)
Vì a, b dương nên áp dụng BĐT Cô - si cho 2 số dương, ta được :
\(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\sqrt{\frac{ab}{ba}}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2.1=2\)
\(\Leftrightarrow2\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)\ge4\)
\(\Leftrightarrow5+2\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)\ge4+5\)
\(\Leftrightarrow A\ge9\)
Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow\)a = b > 0
Vậy \(\left(1+\frac{1}{a}\right)\left(1+\frac{1}{b}\right)\ge9\)với a, b là các số dương và a + b = 1
Tớ quên. Dấu bằng xảy ra
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=b>0\\a+b=1\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow a=b=\frac{1}{2}\)