cho 3 so a,b,c duong va a+b+c=1 CM\(\frac{ab}{c+1}+\frac{bc}{a+1}+\frac{ac}{b+1}\le\frac{1}{4}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
13 tháng 7 2020
\(a+b+c=abc\Leftrightarrow\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=1\)
Đặt \(\left(\frac{1}{a};\frac{1}{b};\frac{1}{c}\right)=\left(x;y;z\right)\Rightarrow xy+yz+zx=1\)
\(VT=\frac{x^2yz}{1+yz}+\frac{xy^2z}{1+zx}+\frac{xyz^2}{1+xy}=\frac{x^2yz}{xy+yz+yz+zx}+\frac{xy^2z}{xy+zx+yz+zx}+\frac{xyz^2}{xy+yz+xy+zx}\)
\(VT\le\frac{1}{4}\left(\frac{x^2yz}{xy+yz}+\frac{x^2yz}{yz+zx}+\frac{xy^2z}{xy+zx}+\frac{xy^2z}{yz+zx}+\frac{xyz^2}{xy+yz}+\frac{xyz^2}{xy+zx}\right)\)
\(VT\le\frac{1}{4}\left(\frac{x^2y}{x+y}+\frac{xy^2}{x+y}+\frac{y^2z}{y+z}+\frac{yz^2}{y+z}+\frac{x^2z}{x+z}+\frac{xz^2}{x+z}\right)\)
\(VT\le\frac{1}{4}\left(xy+yz+zx\right)=\frac{1}{4}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\sqrt{3}\)
VT
25 tháng 9 2017
Áp dụng bất đẳng thức bu nhi a ta có \(\left(x^2+y^2+z^2\right)3\ge\left(x+y+z\right)^2\)
Áp dụng ta có
\(Q^2\le3\left(\frac{a}{1+a+ab}+\frac{b}{1+b+bc}+\frac{c}{1+c+ca}\right)\)
đặt \(M=\frac{a}{1+a+ab}+\frac{b}{1+b+bc}+\frac{c}{1+c+ca}=\frac{a}{1+a+ab}+\frac{ab}{a+ab+abc}+\frac{abc}{ab+abc+â^2bc}\)
\(=\frac{1}{a+ab+1}+\frac{a}{a+ab+1}+\frac{ab}{1+ab+1}=1\)
=> \(Q^2\le3\Rightarrow Q\le\sqrt{3}\)
mặt khác Áp dụng cô si ta có
\(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}=3\Rightarrow\sqrt{a+b+c}\ge\sqrt{3}\Rightarrow\sqrt{a+b+c}\ge Q\) (ĐPCM)
25 tháng 9 2017
ta có:
\(\frac{a}{1+a+ab}+\frac{b}{1+b+bc}+\frac{c}{1+c+ca}=\frac{a}{abc+a+ab}+\frac{b}{1+b+bc}+\frac{bc}{b+bc+abc}\)
\(=\frac{1}{1+b+bc}+\frac{b}{1+b+bc}+\frac{bc}{1+b+bc}=1\)
ta có:
\(Q^2\le3\left(\frac{a}{1+a+ab}+\frac{b}{1+b+bc}+\frac{c}{1+c+ca}\right)=3\)
\(\Rightarrow Q\le\sqrt{3}=\sqrt{3\sqrt[3]{abc}}\le\sqrt{a+b+c}\left(Q.E.D\right)\)
dấu = xảy ra khi a=b=c=1
25 tháng 3 2018
Áp dụng BĐT côsi ta có:
a² + bc ≥ 2.a√(bc)
<=> 1/(a² + bc) ≤ 1/(2a√(bc)) -------------(1)
tương tự vậy:
1/(b² + ac) ≤ 1/(2b√(ac)) -------------------(2)
1/(c² + ab) ≤ 1/(2c√(ab)) -------------------(3)
lấy (1) + (2) + (3)
=> 1/(a² + bc) + 1/(b² + ac) + 1/(c² + ab) ≤ 1/(2a√(bc)) + 1/(2b√(ac)) + 1/(2c√(ab))
<=>1/(a² + bc) + 1/(b² + ac) + 1/(c² + ab) ≤ √(bc)/2abc + √(ac)/2abc + √(ab)/2abc
<=>1/(a² + bc) + 1/(b² + ac) + 1/(c² + ab) ≤ [√(bc) + √(ac) + √(ab) ]/2abc (!)
Ta chứng minh bổ đề:
√(ab) + √(bc) + √(ac) ≤ a + b + c
thật vậy, áp dụng BĐT côsi ta được:
a + b ≥ 2√(ab) --- (*)
a + c ≥ 2√(ac) --- (**)
b + c ≥ 2√(bc) --- (***)
lấy (*) + (**) + (***) => 2(a + b + c) ≥ 2.[ √(bc) + √(ac) + √(ab) ]
<=> √(bc) + √(ac) + √(ab) ≤ a + b + c (@)
từ (!) và (@)
=> 1/(a² + bc) + 1/(b² + ac) + 1/(c² + ab) ≤ (a + b + c)/2abc ( Đpcm )
15 tháng 7 2020
Áp dụng AM - GM:
\(\frac{1}{a^2+bc}\le\frac{1}{2a\sqrt{bc}};\frac{1}{b^2+ac}\le\frac{1}{2b\sqrt{ca}};\frac{1}{c^2+ab}\le\frac{1}{2c\sqrt{ab}}\)
Khi đó:
\(\frac{1}{a^2+bc}+\frac{1}{b^2+ca}+\frac{1}{c^2+ab}\le\frac{1}{2a\sqrt{bc}}+\frac{1}{2b\sqrt{ca}}+\frac{1}{2c\sqrt{ab}}\)
\(=\frac{\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}}{2abc}\le\frac{a+b+c}{2abc}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
20 tháng 6 2019
Ta chứng minh được
\(a^4+b^4\ge ab\left(a^2+b^2\right)\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)\ge0\)
\(\Rightarrow P\le\sum\frac{ab}{ab\left(a^2+b^2\right)+ab}=\sum\frac{1}{a^2+b^2+1}\)
Đặt \(\left(a^2;b^2;c^2\right)=\left(x^3;y^3;z^3\right)\Rightarrow xyz=1\)
Ta lại chứng minh được:
\(x^3+y^3\ge xy\left(x+y\right)\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\left(x+y\right)\ge0\)
\(\Rightarrow P\le\sum\frac{1}{x^3+y^3+1}\le\sum\frac{xyz}{xy\left(x+y\right)+xyz}=\sum\frac{z}{x+y+z}=1\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
Đây là bài thi vào 10 của Thanh Hóa thì phải
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
30 tháng 8 2020
\(VT\le\frac{1}{2\sqrt{a^2bc}}+\frac{1}{2\sqrt{b^2ac}}+\frac{1}{2\sqrt{c^2ab}}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{\sqrt{ab.ac}}+\frac{1}{\sqrt{ab.bc}}+\frac{1}{\sqrt{ac.bc}}\right)\)
\(VT\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{ac}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}+\frac{1}{bc}\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{a+b+c}{abc}\right)\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
24. trong vio toán ak