K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

NV
22 tháng 2 2021

\(P=\dfrac{1}{2xy}+\dfrac{1}{2xy}+\dfrac{1}{x^2+y^2}\ge\dfrac{1}{\dfrac{2.\left(x+y\right)^2}{4}}+\dfrac{4}{2xy+x^2+y^2}=\dfrac{6}{\left(x+y\right)^2}=6\)

\(P_{min}=6\) khi \(a=b=\dfrac{1}{2}\)

AH
Akai Haruma
Giáo viên
22 tháng 2 2021

Cách khác:

Đặt $xy=t$. Bằng $AM-GM$ dễ thấy $t\leq \frac{1}{4}$

\(P=\frac{1}{xy}+\frac{1}{(x+y)^2-2xy}=\frac{1}{xy}+\frac{1}{1-2xy}=\frac{1}{t}+\frac{1}{1-2t}\)

\(=\frac{1}{t}-4+\frac{1}{1-2t}-2+6=\frac{(1-4t)(1-3t)}{t(1-2t)}+6\geq 6\) với mọi $t\leq \frac{1}{4}$

Vậy $P_{\min}=6$ khi $x=y=\frac{1}{2}$

NV
20 tháng 3 2021

\(1\ge x+\dfrac{1}{y}\ge2\sqrt{\dfrac{x}{y}}\Rightarrow\dfrac{x}{y}\le\dfrac{1}{4}\Rightarrow\dfrac{y}{x}\ge4\)

\(P=\dfrac{1-\dfrac{2y}{x}+2\left(\dfrac{y}{x}\right)^2}{1+\dfrac{y}{x}}\)

Đặt \(\dfrac{y}{x}=a\ge4\Rightarrow P=\dfrac{2a^2-2a+1}{a+1}=2a-4+\dfrac{5}{a+1}\)

\(P=\dfrac{a+1}{5}+\dfrac{5}{a+1}+\dfrac{9}{5}.a-\dfrac{21}{5}\ge2\sqrt{\dfrac{5\left(a+1\right)}{5\left(a+1\right)}}+\dfrac{9}{5}.4-\dfrac{21}{5}=5\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=4\) hay \(\left(x;y\right)=\left(\dfrac{1}{2};2\right)\)

20 tháng 3 2021

Nguyễn Việt Lâm Giáo viên làm thế nào để có thể nghĩ được ra như vậy?

21 tháng 4 2022

\(A=\dfrac{1}{x^2+y^2}+\dfrac{1}{xy}=\left(\dfrac{1}{x^2+y^2}+\dfrac{1}{2xy}\right)+\dfrac{1}{2xy}\)

Áp dụng BĐT Schwarz : \(\dfrac{1}{x^2+y^2}+\dfrac{1}{2xy}\ge\dfrac{\left(1+1\right)^2}{x^2+y^2+2xy}=\dfrac{4}{\left(x+y\right)^2}=4\)

Lại có \(\dfrac{1}{2xy}=\dfrac{2}{4xy}\ge\dfrac{2}{\left(x+y\right)^2}=2\)

Cộng vế với vế được P \(\ge6\) ("=" khi x = y = 1/2)

Vậy Min P = 6 <=> x = y = 1/2 

12 tháng 3 2021

\(M=\dfrac{2x+y}{xy}+\dfrac{3}{2x+y}=\dfrac{2x+y}{2}+\dfrac{3}{2x+y}=\dfrac{3\left(2x+y\right)}{16}+\dfrac{3}{2x+y}+\dfrac{5}{16}\left(2x+y\right)\ge2\sqrt{\dfrac{3}{16}.3}+\dfrac{5}{16}.2\sqrt{2xy}=\dfrac{3}{2}+\dfrac{5}{4}=\dfrac{11}{4}\).

Đẳng thức xảy ra khi x = 1; y = 2.

NV
12 tháng 3 2021

\(M=\dfrac{2x+y}{xy}+\dfrac{3}{2x+y}=\dfrac{2x+y}{2}+\dfrac{3}{2x+y}\)

\(M=\dfrac{3\left(2x+y\right)}{16}+\dfrac{3}{2x+y}+\dfrac{5\left(2x+y\right)}{16}\ge2\sqrt{\dfrac{9\left(2x+y\right)}{16\left(2x+y\right)}}+\dfrac{5}{16}.2\sqrt{2xy}=\dfrac{11}{4}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\left(x;y\right)=\left(1;2\right)\)

14 tháng 3 2021

Ta có:

\(M=\dfrac{2x+y}{xx}+\dfrac{3}{2x+y}=\dfrac{2x+y}{2}+\dfrac{3}{2x+y}\)

\(=\left(\dfrac{3}{8}\dfrac{2x+y}{2}+\dfrac{3}{2x+y}\right)+\dfrac{5}{8}\dfrac{2x+y}{2}\)

Có: \(\dfrac{3}{8}\dfrac{2x+y}{2}+\dfrac{3}{2x+y}\ge2\sqrt{\dfrac{3}{8}\dfrac{2x+y}{2}\dfrac{3}{2x+y}}=\dfrac{3}{2}\)

Dấu '=' xảy ra \(\Leftrightarrow\dfrac{3}{8}\dfrac{2x+y}{2}=\dfrac{3}{2x+y}\)

Có: \(\dfrac{5}{8}\dfrac{2x+y}{2}\ge\dfrac{5}{8}\sqrt{2xy}=\dfrac{5}{4}\)

Dấu '=' xảy ra \(\Leftrightarrow2x=y,xy=2\)

\(\Rightarrow M\ge\dfrac{3}{2}+\dfrac{5}{4}=\dfrac{11}{4}\)

Dấu '=' xảy ra \(\Leftrightarrow x=1,y=2\)

Vậy GTNN của M là \(\dfrac{11}{4}\Leftrightarrow x=1,y=2\)

14 tháng 3 2021

\(M=\dfrac{2x+y}{xy}\)

4 tháng 8 2021

còn cách làm khác không ạ?

 

NV
30 tháng 12 2021

\(P=\dfrac{1}{y}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{z}\right)\ge\dfrac{1}{y}.\dfrac{4}{x+z}=\dfrac{4}{y\left(x+z\right)}\ge\dfrac{4}{\dfrac{\left(y+x+z\right)^2}{4}}=4\)

\(P_{min}=4\) khi \(\left(x;y;z\right)=\left(\dfrac{1}{2};1;\dfrac{1}{2}\right)\)

31 tháng 12 2021

Anh ơi! Dấu bằng xảy ra là x+y+z =2 và cái nào nữa ạ anh

NV
2 tháng 3 2021

\(M=3\left(\dfrac{1}{2xy}+\dfrac{1}{x^2+y^2}\right)+\dfrac{1}{2xy}\ge\dfrac{12}{2xy+x^2+y^2}+\dfrac{2}{\left(x+y\right)^2}=\dfrac{14}{\left(x+y\right)^2}=14\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=\dfrac{1}{2}\)

2 tháng 3 2021

Áp dụng bđt đã cho ta có \(M=4\left(\dfrac{1}{2xy}+\dfrac{1}{x^2+y^2}\right)-\dfrac{1}{x^2+y^2}\ge\dfrac{16}{2xy+x^2+y^2}-\dfrac{2}{\left(x+y\right)^2}=\dfrac{16}{\left(x+y\right)^2}-\dfrac{2}{\left(x+y\right)^2}=14\).

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=\dfrac{1}{2}\)

Ta có: \(Q=\dfrac{2}{x^2+y^2}+\dfrac{3}{xy}=\dfrac{2}{x^2+y^2}+\dfrac{6}{2xy}=\dfrac{2}{x^2+y^2}+\dfrac{2}{2xy}+\dfrac{4}{2xy}\)

Áp dụng BĐT phụ: \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{4}{a+b}\)

\(\Rightarrow2\left(\dfrac{1}{x^2+y^2}+\dfrac{1}{2xy}\right)\ge2\left(\dfrac{4}{x^2+2xy+y^2}\right)=2\left[\dfrac{4}{\left(x+y\right)^2}\right]=2.\dfrac{4}{4}=2\)

Dấu "=" xảy ra khi x=y=1

Áp dụng BĐT phụ: \(ab\le\dfrac{\left(a+b\right)^2}{4}\)

\(\Rightarrow xy\le\dfrac{\left(x+y\right)^2}{4}=\dfrac{2^2}{4}=1\)

Dấu"=" xảy ra khi x=y=1

\(\Rightarrow2xy\le2.1=2\)

\(\Rightarrow\dfrac{4}{2xy}\ge\dfrac{4}{2}=2\)

\(\Rightarrow Q=\dfrac{2}{x^2+y^2}+\dfrac{2}{2xy}+\dfrac{4}{2xy}=\dfrac{2}{x^2+y^2}+\dfrac{3}{xy}\ge2+2=4\)

Dấu"=" xảy ra khi x=y=1