Cho a,b,c\(\ge0\), ab+bc+ca=1. Tìm GTNN của P=\(\dfrac{a^2+b^2+c^2+3}{a+b+c-abc}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
M
26 tháng 8 2023
Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B = ab + bc + ca + a^3 + b^3 + c^3 / 5(ab + bc + ca) + 1, ta có thể sử dụng phương pháp đạo hàm.
Đầu tiên, ta tính đạo hàm của biểu thức B theo a, b và c. Đạo hàm riêng của B theo a, b và c được tính như sau:
∂B/∂a = 3a^2 + b^3 + c^3 / 5(ab + bc + ca) + 1 - (a^3 + b^3 + c^3)(b + c) / (5(ab + bc + ca) + 1)^2 ∂B/∂b = a^3 + 3b^2 + c^3 / 5(ab + bc + ca) + 1 - (a^3 + b^3 + c^3)(a + c) / (5(ab + bc + ca) + 1)^2 ∂B/∂c = a^3 + b^3 + 3c^2 / 5(ab + bc + ca) + 1 - (a^3 + b^3 + c^3)(a + b) / (5(ab + bc + ca) + 1)^2
Tiếp theo, ta giải hệ phương trình ∂B/∂a = ∂B/∂b = ∂B/∂c = 0 để tìm các điểm cực trị của biểu thức B.
Sau khi tìm được các điểm cực trị, ta so sánh giá trị của B tại các điểm cực trị và tại các điểm biên của miền xác định để tìm giá trị nhỏ nhất của B.
Tuy nhiên, việc giải phương trình và tính toán các giá trị có thể làm cho quá trình này trở nên phức tạp và mất nhiều thời gian.
Do đó, để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B, ta có thể sử dụng phương pháp khác như phương pháp đặt tính chất của hàm để giải quyết bài toán này.
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
28 tháng 4 2021
\(P\ge\left(a+b+c\right)^2\left(\dfrac{1}{a^2+b^2+c^2}+\dfrac{9}{ab+bc+ca}\right)\)
\(P\ge\left(a+b+c\right)^2\left(\dfrac{1}{a^2+b^2+c^2}+\dfrac{1}{ab+bc+ca}+\dfrac{1}{ab+bc+ca}+\dfrac{7}{ab+bc+ca}\right)\)
\(P\ge\left(a+b+c\right)^2\left(\dfrac{9}{a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca}+\dfrac{7}{\dfrac{1}{3}\left(a+b+c\right)^2}\right)=30\)
\(P_{min}=30\) khi \(a=b=c\)
14 tháng 1 2021
Ta có: \(\sqrt{a^2+b^2+c^2}\ge\sqrt{\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{3}}=\sqrt{3};\sqrt{a^2+b^2+c^2}\le\sqrt{\left(a+b+c\right)^2}=3\).
Đặt \(\sqrt{a^2+b^2+c^2}=t\) \((\sqrt{3}\leq t\leq 3)\).
Ta có: \(P=t+\dfrac{9-t^2}{4}+\dfrac{1}{t^2}=\dfrac{4t^3+9t^2-t^4+4}{4t^2}\).
\(\Rightarrow P-\dfrac{28}{9}=\dfrac{\left(3-t\right)\left(9t^3-9t^2+4t+12\right)}{36}\).
Do \(\sqrt{3}\le t\le3\) nên \(3-t\geq 0\); \(9t^3-9t^2+4t+12>4t+12>0\).
Nên \(P\ge\dfrac{28}{9}\).
Đẳng thức xảy ra khi t = 3, tức (a, b, c) = (0; 0; 3) và các hoán vị.
Vậy...
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
16 tháng 9 2021
\(P=\dfrac{a^3}{b^2+ab+bc+ca}+\dfrac{b^3}{c^2+ab+bc+ca}+\dfrac{c^3}{a^2+ab+bc+ca}=\dfrac{a^3}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}+\dfrac{b^3}{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}+\dfrac{c^3}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}\)
Ta có:
\(\dfrac{a^3}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}+\dfrac{a+b}{8}+\dfrac{b+c}{8}\ge\dfrac{3a}{4}\)
\(\dfrac{b^3}{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}+\dfrac{a+c}{8}+\dfrac{b+c}{8}\ge\dfrac{3b}{4}\)
\(\dfrac{c^3}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}+\dfrac{a+b}{8}+\dfrac{a+c}{8}\ge\dfrac{3c}{4}\)
Cộng vế:
\(P+\dfrac{a+b+c}{2}\ge\dfrac{3}{4}\left(a+b+c\right)\)
\(\Rightarrow P\ge\dfrac{1}{4}\left(a+b+c\right)\ge\dfrac{1}{4}.\sqrt{3\left(ab+bc+ca\right)}=\dfrac{\sqrt{3}}{4}\)
8 tháng 1 2021
Hi vọng là tìm GTLN:
Không mất tính tổng quát, giả sử b, c cùng phía với 1 \(\Rightarrow\left(b-1\right)\left(c-1\right)\ge0\Leftrightarrow bc\ge b+c-1\).
Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có:
\(4=a^2+b^2+c^2+abc\ge a^2+2bc+abc\Leftrightarrow2bc+abc\le4-a^2\Leftrightarrow bc\left(a+2\right)\le\left(2-a\right)\left(a+2\right)\Leftrightarrow bc+a\le2\)
\(\Rightarrow a+b+c\le3\).
Áp dụng bất đẳng thức Schwarz ta có:
\(P\le\dfrac{ab}{9}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{2}{b}\right)+\dfrac{bc}{9}\left(\dfrac{1}{b}+\dfrac{2}{c}\right)+\dfrac{ca}{9}\left(\dfrac{1}{c}+\dfrac{2}{a}\right)=\dfrac{1}{9}.3\left(a+b+c\right)=\dfrac{1}{3}\left(a+b+c\right)\le1\).
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1.
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
17 tháng 4 2021
\(P\ge\dfrac{3abc}{2abc}+\dfrac{a^2+b^2}{c^2+\dfrac{a^2+b^2}{2}}+\dfrac{b^2+c^2}{a^2+\dfrac{b^2+c^2}{2}}+\dfrac{c^2+a^2}{b^2+\dfrac{c^2+a^2}{2}}\)
\(P\ge\dfrac{3}{2}+2\left(\dfrac{a^2+b^2}{a^2+c^2+b^2+c^2}+\dfrac{b^2+c^2}{a^2+b^2+a^2+c^2}+\dfrac{a^2+c^2}{a^2+b^2+b^2+c^2}\right)\)
Đặt \(\left(a^2+b^2;b^2+c^2;a^2+c^2\right)=\left(x;y;z\right)\)
\(\Rightarrow P\ge\dfrac{3}{2}+2\left(\dfrac{x}{y+z}+\dfrac{y}{z+x}+\dfrac{z}{x+y}\right)=\dfrac{3}{2}+2\left(\dfrac{x^2}{xy+xz}+\dfrac{y^2}{yz+xy}+\dfrac{z^2}{xz+yz}\right)\)
\(P\ge\dfrac{3}{2}+\dfrac{2\left(x+y+z\right)^2}{2\left(xy+yz+zx\right)}\ge\dfrac{3}{2}+\dfrac{3\left(xy+yz+zx\right)}{xy+yz+zx}=3+\dfrac{3}{2}=\dfrac{9}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
DP
27 tháng 5 2022
áp dụng bất đẳng thức: 1+b2>=2b. tương tự.....
ad bđt cauchy: a/b+b/c+c/a>=3∛a/b.b/c.c/a=3
P>=\(\dfrac{2ab}{bc}\)+\(\dfrac{2bc}{ca}\)+\(\dfrac{2ca}{ab}\) =2(\(\dfrac{a}{b}\)+\(\dfrac{b}{c}\)+ \(\dfrac{c}{a}\))>=2.3=6
Pmin khi a=b=c=1
13 tháng 6 2022
Áp dụng bđt : \(1+b^2>=2b\)
bđt cauchy : \(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}>3\sqrt[3]{}\) a\b . b\c . c\a = 3
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
23 tháng 1 2021
\(abc\ge\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)\)
\(\Leftrightarrow abc\ge\left(3-2a\right)\left(3-2b\right)\left(3-2c\right)\)
\(\Leftrightarrow9abc\ge12\left(ab+bc+ca\right)-27\)
\(\Rightarrow abc\ge\dfrac{4}{3}\left(ab+bc+ca\right)-3\)
\(P\ge\dfrac{9}{a\left(b^2+bc+c^2\right)+b\left(c^2+ca+a^2\right)+c\left(a^2+ab+b^2\right)}+\dfrac{abc}{ab+bc+ca}=\dfrac{9}{\left(ab+bc+ca\right)\left(a+b+c\right)}+\dfrac{abc}{ab+bc+ca}\)
\(\Rightarrow P\ge\dfrac{3}{ab+bc+ca}+\dfrac{abc}{ab+bc+ca}=\dfrac{3+abc}{ab+bc+ca}\)
\(\Rightarrow P\ge\dfrac{3+\dfrac{4}{3}\left(ab+bc+ca\right)-3}{ab+bc+ca}=\dfrac{4}{3}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
9 tháng 1 2021
Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có:
\(\dfrac{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}{8}+\dfrac{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}{8}+\dfrac{1}{a^2+b^2+c^2}\ge\dfrac{3}{4}\). (1)
Đặt \(\sqrt{a^2+b^2+c^2}=t\Rightarrow\sqrt{\dfrac{4}{3}}\le t\le2\).
\(\dfrac{3\sqrt{a^2+b^2+c^2}}{4}+\dfrac{ab+bc+ca}{2}=\dfrac{3t}{4}+\dfrac{4-2t^2}{4}=\dfrac{\left(2-t\right)\left(2t+1\right)}{4}+\dfrac{3}{2}\ge\dfrac{3}{2}\). (2)
Cộng vế với vế của (1), (2) ta được \(P\ge\dfrac{9}{4}\).
...
\(P=\dfrac{a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)+1}{a+b+c-abc}=\dfrac{\left(a+b+c\right)^2+1}{a+b+c-abc}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2+1}{a+b+c}\)
\(\Rightarrow P\ge a+b+c+\dfrac{1}{a+b+c}\) (1)
\(P=\dfrac{a^2+b^2+c^2+3\left(ab+bc+ca\right)}{\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)-abc}=\dfrac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)+\left(b+c\right)\left(c+a\right)+\left(a+b\right)\left(c+a\right)}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\)
\(P=\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}=\dfrac{1}{a+b+c}\left(\dfrac{a+b+c}{a+b}+\dfrac{a+b+c}{b+c}+\dfrac{a+c+b}{a+c}\right)\)
\(P=\dfrac{1}{a+b+c}\left(3+\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}\right)\ge\dfrac{1}{a+b+c}\left(3+\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)}\right)\)
\(P\ge\dfrac{1}{a+b+c}\left(3+\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{2}\right)=\dfrac{3}{a+b+c}+\dfrac{a+b+c}{2}\)
\(\Rightarrow3P\ge\dfrac{3}{2}\left(a+b+c\right)+\dfrac{9}{a+b+c}\) (2)
Cộng vế (1) và (2):
\(\Rightarrow4P\ge\dfrac{5}{2}\left(a+b+c\right)+\dfrac{10}{a+b+c}\ge2\sqrt{\dfrac{50\left(a+b+c\right)}{2\left(a+b+c\right)}}=10\)
\(\Rightarrow P\ge\dfrac{5}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left(a;b;c\right)=\left(1;1;0\right)\) và các hoán vị