Question

[Trịnh Hoàng Đông Giang]

1. với p là số nguyên tố p>3 CMR: p² -1=24

2. Trong 1900 số tự nhiên liên tiếp có 1 số có tổng các chữ số chia hết cho 27

3.CMR: a.3²ⁿ⁺¹ + 2²ⁿ⁺² chia het cho 7

           b. mn(m⁴-n⁴) chia hết cho 30

Answer 1

[Phước Nguyễn]

\(2.\)  Tính chất: Trong  \(n\)  số nguyên liên tiếp có một  và chỉ một số chia hết cho  \(n\)

Giả sử \(n,\)  \(n+1,...,\)  \(n+1899\)  là dãy \(1900\) số tự nhiên liên tiếp \(\left(1\right)\)

Xét  \(1000\) số tự nhiên liên tiếp từ  \(n,\)  \(n+1,...,\)  \(n+999\)  \(\left(2\right)\)  thuộc dãy số  \(\left(1\right)\)

Theo tính chất trên, sẽ có một số chia hết cho  \(1000\)

Giả sử số đó là  \(n_0\), khi đó \(n_0\) có tận cùng là  \(3\) chữ số \(0\) và  \(m\)  là tổng các chữ số của \(n_0\)

Khi đó, ta xét  \(27\)  số tự nhiên gồm:

\(n_0,\)  \(n_0+9,\)  \(n_0+19,\)  \(n_0+29,\)  \(n_0+39,...,\)  \(n_0+99,\)  \(n_0+199,...,\)  \(n_0+899\)  \(\left(3\right)\)

Sẽ có tổng các chữ số gồm  \(27\)  số tự nhiên liên tiếp là  \(m,\)  \(m+1,\)  \(m+2,...,\)  \(m+26\)

Do đó,  có  \(1\)  số chia hết cho  \(27\)

Vậy,  trong  \(1900\)  số tự nhiên liên tiếp có  \(1\)  số có tổng các chữ số chia hết cho \(27\)