K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

NV
29 tháng 1 2021

1.

Sửa đề: \(S=\dfrac{1}{6}\left(ch_a+bh_c+ah_b\right)\)

\(a.h_a=b.h_b=c.h_c=2S\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}h_a=\dfrac{2S}{a}\\h_b=\dfrac{2S}{b}\\h_c=\dfrac{2S}{c}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow6S=\dfrac{2Sc}{a}+\dfrac{2Sb}{c}+\dfrac{2Sa}{b}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}=3\)

Mặt khác theo AM-GM: \(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\ge3\sqrt[3]{\dfrac{abc}{abc}}=3\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c\)

\(\Leftrightarrow\) Tam giác đã cho đều

NV
29 tháng 1 2021

2.

Bạn coi lại đề, biểu thức câu này rất kì quặc (2 vế không đồng bậc)

Ở vế trái là \(2\left(a^2+b^2+c^2\right)\) hay \(2\left(a^3+b^3+c^3\right)\) nhỉ?

3.

Theo câu a, ta có:

\(VT=\dfrac{2S}{a}+\dfrac{2S}{b}+\dfrac{2S}{c}\ge\dfrac{18S}{a+b+c}=\dfrac{18.pr}{a+b+c}=9r\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c\)

Hay tam giác đã cho đều

11 tháng 6 2023

\(\)Ta có: \(a+b+c=0 \Rightarrow b+c=-a \Rightarrow (b+c)^2=(-a)^2 \Leftrightarrow b^2+c^2+2bc=a^2 \Leftrightarrow a^2-b^2-c^2=2bc\)

Tương tự: \(b^2-c^2-a^2=2ca;c^2-a^2-b^2=2ab\)

\(P=...=\dfrac{a^2}{2bc}+\dfrac{b^2}{2ca}+\dfrac{c^2}{2bc}=\dfrac{a^3+b^3+c^3}{2abc}=\dfrac{3abc}{2abc}=\dfrac{3}{2}\)

----
Bổ đề \(a+b+c=0 \Leftrightarrow a^3+b^3+c^3\)

Ở đây ta c/m chiều thuận:
Với \(a+b+c=0 \Leftrightarrow a+b=-c \Rightarrow (a+b)^3=(-c)^3 \Leftrightarrow a^3+b^3+3ab(a+b)=-c^3 \Leftrightarrow a^3+b^3+c^3=3abc(QED)\)

4 tháng 7 2021

áp dụng BDT AM-GM

\(=>a^2+b^2+c^2\ge3\sqrt[3]{\left(abc\right)^2}\)

\(=>1\ge3\sqrt[3]{\left(abc\right)^2}=>1\ge27\left(abc\right)^2\)\(=>27\left(abc\right)^2\le1=>3\left(abc\right)^2\le\dfrac{1}{9}=>\left(abc\right)^2\le\dfrac{1}{27}=>abc\le\dfrac{1}{3\sqrt{3}}\)

\(=>\dfrac{8}{9abc}\ge\dfrac{8}{9.\dfrac{1}{3\sqrt{3}}}=\dfrac{8\sqrt{3}}{3}\)

\(S=a+b+c+\dfrac{1}{abc}=a+b+c+\dfrac{1}{9abc}+\dfrac{8}{9abc}\)

\(=>a+b+c+\dfrac{1}{9abc}\ge4\sqrt[4]{\dfrac{1}{9}}=\dfrac{4}{\sqrt{3}}\)

\(=>S\ge\dfrac{4}{\sqrt{3}}+\dfrac{8}{\sqrt{3}}=4\sqrt{3}\)

dấu"=" xyar ra<=>a=b=c=\(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\)

 

4 tháng 7 2021

Các bn mà cop thì nhớ giải thích giúp mik đoạn \(a^2+b^2+c^2\ge3\sqrt[3]{abc}\) với

NV
8 tháng 2 2021

\(VT=\dfrac{a^4}{ab+ac}+\dfrac{b^4}{ab+bc}+\dfrac{c^4}{ac+bc}\ge\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)}\)

\(VT\ge\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{2\left(a^2+b^2+c^2\right)}=\dfrac{1}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)

NV
8 tháng 3 2023

Ta chứng minh BĐT sau:

\(\dfrac{1}{x^3+x+2}\ge\dfrac{-x^2+3}{8}\) với \(x>0\)

Thật vậy, BĐT tương đương:

\(\left(x^2-3\right)\left(x^3+x+2\right)+8\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2\left(x^3+2x^2+x+2\right)\ge0\) (luôn đúng)

Áp dụng:

\(\Rightarrow VT\ge\dfrac{-a^2+3}{8}+\dfrac{-b^2+3}{8}+\dfrac{-c^2+3}{8}=\dfrac{9-\left(a^2+b^2+c^2\right)}{8}=\dfrac{3}{4}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)

NV
27 tháng 12 2020

Đề sai.

Nếu \(P=a+b+c+9\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\) thì có min, còn biểu thức này thì không có

Bạn có thể tính thử 3 bộ giá trị \(P\left(1;1;1\right)\)  (điểm rơi dự kiến); \(P\left(1;\dfrac{9}{10};\dfrac{\sqrt{119}}{10}\right)\) ; \(P\left(1;\dfrac{1}{10};\dfrac{\sqrt{199}}{10}\right)\) sẽ hiểu tại sao

17 tháng 1 2022

Tham khảo:

https://hoc24.vn/cau-hoi/cho-a-b-c-la-do-dai-ba-canh-cua-mot-tam-giac-va-thoa-man-he-thuc-a-b-c-1-cmr-a2-b2-c2-12.139261258302

17 tháng 1 2022

áp dụng Hê rông nha mn❤