Question

[nguyen ngoc son]

cho tam giác ABC(AC<AB) đường cao AH gọi D,E,F theo thứ tự là trung điểm của AB,BC,AC

a.tứ giác DECF là hình gì ? vì sao?

b.tam giác ABC có điều kiện gì thì tứ giác DECF là hcn

c.c/m tứ giác DFHE là hinh thang cân

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

a) Xét ΔABC có 

D là trung điểm của AB(gt)

F là trung điểm của AC(gt)

Do đó: DF là đường trung bình của ΔABC(Định nghĩa đường trung bình của tam giác)

⇒DF//BC và \(DF=\dfrac{BC}{2}\)(Định lí 2 về đường trung bình của tam giác)

mà E∈BC và \(EC=\dfrac{BC}{2}\)(E là trung điểm của BC)

nên DF//EC và DF=EC

Xét tứ giác DECF có 

DF//EC(cmt)

DF=EC(cmt)

Do đó: DECF là hình bình hành(Dấu hiệu nhận biết hình bình hành)

b) Hình bình hành DECF trở thành hình chữ nhật khi \(\widehat{FCE}=90^0\)

hay \(\widehat{ACB}=90^0\)

Vậy: Khi ΔABC có thêm điều kiện \(\widehat{ACB}=90^0\) thì tứ giác DECF là hình chữ nhật

c) Xét ΔABC có 

D là trung điểm của AB(gt)

E là trung điểm của BC(gt)

Do đó: DE là đường trung bình của ΔABC(Định nghĩa đường trung bình của tam giác)

⇒DE//AC và \(DE=\dfrac{AC}{2}\)(Định lí 2 về đường trung bình của tam giác)(1)

Ta có: ΔAHC vuông tại H(AH⊥BC)

mà HF là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AC(F là trung điểm của AC)

nên \(HF=\dfrac{AC}{2}\)(Định lí 1 về áp dụng hình chữ nhật vào tam giác vuông)(2)

Từ (1) và (2) suy ra DE=HF

Ta có: DF//BC(cmt)

mà H∈BC(gt)

và E∈BC(E là trung điểm của BC)

nên HE//DF

Xét tứ giác DFEH có 

DF//HE(cmt)

nên DFEH là hình thang có hai đáy là DF và HE(Định nghĩa hình thang)

Hình thang DFEH(DF//HE) có DE=HF(cmt)

nên DFEH là hình thang cân(Dấu hiệu nhận biết hình thang cân)