1/Cho a,b,c là các số dương chứng minh
a. Nếu \(\frac{a}{b}>1\)thì \(\frac{a}{b}>\frac{a+c}{b+c}\)
b. Nếu \(\frac{a}{b}< 1\)thì \(\frac{a}{b}< \frac{a+c}{b+c}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
3 tháng 10 2020
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0\Rightarrow ab+bc+ca=0\Rightarrow\left(a+c\right)\left(b+c\right)=c^2\)
Vì \(a,b>0\)mà \(\frac{1}{c}=-\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)< 0\)nên \(c< 0\Rightarrow\sqrt{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}=-c\)
\(\Rightarrow2c+2\sqrt{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}=0\Rightarrow\left(a+c\right)+2\sqrt{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}+\left(b+c\right)=a+b\)
\(\Rightarrow\left(\sqrt{a+c}+\sqrt{b+c}\right)^2=a+b\)---> 2 vế đều dương nên ta lấy căn 2 vế:
\(\sqrt{a+c}+\sqrt{b+c}=\sqrt{a+b}\)
DT
27 tháng 4 2019
Từ \(1=a+b+c\Rightarrow1=\left(a+b+c\right)^2\le3\left(a^2+b^2+c^2\right).\)(bất đẳng thức bunhiacopxki)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge\frac{1}{3}\)(*)
Ta có : \(\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2\le3\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)\)(1)
Dễ thấy \(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=3+\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+\frac{b}{c}+\frac{b}{b}+\frac{c}{a}+\frac{a}{c}\)
\(\ge3+2\sqrt{\frac{a}{b}.\frac{b}{a}}+2\sqrt{\frac{c}{b}\frac{b}{c}}+2\sqrt{\frac{a}{c}\frac{c}{a}}=3+2+2+2=9\)(bất đẳng thức cô si)
\(Hay:\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge9\left(do:a+b+c=1\right)\)(2)
Từ (1) và (2) suy ra \(9^2\le\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2\le3\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)\)
\(\Rightarrow\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)\ge27\)(**)
Ta có \(\left(a+\frac{1}{a}\right)^2+\left(b+\frac{1}{b}\right)^2+\left(c+\frac{1}{c}\right)^2\)
\(=a^2+2+\frac{1}{a^2}+b^2+2+\frac{1}{b^2}+c^2+2+\frac{1}{c^2}\)
\(=\left(a^2+b^2+c^2\right)+\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)+6\)
\(\ge\frac{1}{3}+27+6=33+\frac{1}{3}>33\)(theo (*) và (**) )
5 tháng 10 2015
2a²/(a-b) + b²/(b-c) = (2a²-2b²)/(a-b) + (b²-c²)/(b-c) + 2b²/(a-b) + c²/(b-c)
= 2(a+b) + (b+c) + 2b²/(a-b) + c²/(b-c)
>2a +3b +c (vì a,b,c > 0)
17 tháng 4 2019
1.Đặt P = ( a-b) / c + ( b-c)/a + ( c-a ) /b
Nhân abc với P ta được ; P abc = ab( a-b) + bc ( b-c) + ac ( c-a )
= ab( a-b) + bc ( a-c + b-a ) + ac ( a-c)
= ab( a-b) - bc ( a-b) - bc( c-a) + ca ( c-a)
= b ( a-b)(a-c) - c ( a-b)(c-a)
= ( b-c)(a-b)(a-c)
=> P = (b-c)(a-b)(a-c) / abc
Xét a + b +c = 0 ta được a + b = -c ; c+a = -b , b+c = -a
Đặt Q = c/(a-b) + a/ ( b-c) + b/ ( c-a)
Nhân ( b-c)(c-b)(a-c) . Q ta có : Q = c(c-a)(b-c) + a( a-b)(c-a) + b(a-b)(b-c)
Q = c(c-a)(b-c) + (a-b)(-b-c)(c-a) +b( a-b)(b-c)
Q = c(c-a)(b-c) - b(a-b)(c-a) + b(a-b)(b-c) - c( a-b)(c-a)
Q = c(c-a)( -a+2b-c) + b(a-2c+b)(a-b)
Q = - 3bc(a-b) + 3bc(c-a)
Q = 3bc ( b+c-2a)
Q = -9abc
Suy ra => Q = 9abc / (a-b)(b-c)(c-a)
Vây ta nhân P*Q = ( b-c)(a-b)(a-c) / abc * 9abc / ( a-b)(b-c)(c-a) ( gạch những hạng tử giống nhau đi)
P*Q = 9 ( đpcm)
**************************************...
Chúc bạn học giỏi và may mắn
17 tháng 4 2019
ta có : các ước tự nhiên của p^4 là:1,p,p2,p3,p4
Giả sử tồn tại 1 số p sao cho tổng các ước của p^4 là 1 số chính phương ta có:
1+p+p2+p3+p4=k2
đến đây rồi biến đổi tiếp,dùng phương pháp chặn 2 đầu là ra
Chúc hok tốt
a) Vì \(\frac{a}{b}>1\Rightarrow a>b\Rightarrow a-b>0\)
Xét hiệu : \(\frac{a}{b}-\frac{a+c}{b+c}=\frac{a\left(b+c\right)-b\left(a+c\right)}{b\left(b+c\right)}=\frac{ab+ac-ba-bc}{b\left(b+c\right)}=\frac{ac-bc}{b\left(b+c\right)}=\frac{c\left(a-b\right)}{b\left(b+c\right)}\)
Mà a-b>0 (cmt) suy ra :\(\frac{a}{b}-\frac{a+c}{b+c}>0\Leftrightarrow\frac{a}{b}>\frac{a+c}{b+c}\left(đpcm\right)\)
b) Chứng minh tương tự
2/Cho b,d>0
Chứng minh \(\frac{a}{b}< \frac{c}{d}\Rightarrow\frac{a}{b}< \frac{a+c}{b+d}< \frac{c}{d}\)