Chứng minh rằng hình n-giác có tất cả n n - 3 2 đường chéo.
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
theo bạn nói thì đa giác lồi có n(n-3) :2 đường chéo
Mà đa giác lồi này có 170 đường chéo
=> n(n-3):2 = 170
=> n(n-3) = 340
=> n(n-3) = 20.17
<=> n = 20
Vậy đa giác lồi này có 20 cạnh
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Đa giác lồi n cạnh có n đỉnh.
Chọn 2 điểm bất kì trong số các đỉnh của một đa giác ta được 1 cạnh hoặc 1 đường chéo của đa giác.
⇒Tổng số cạnh và đường chéo của đa giác bằng:
⇒ số đường chéo của đa giác lồi có n cạnh là:
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Ta chứng minh khẳng định đúng với mọi n ε N* , n ≥ 4.
Với n = 4, ta có tứ giác nên nó có hai đường chéo.
Mặt khác thay n = 4 vào công thức, ta có số đường chéo của tứ giác theo công thức là: = 2
Vậy khẳng định là đúng với n= 4.
Giả sử khẳng định là đúng với n = k ≥ 4, tức là đa giác lồi k cạnh có
số đường chéo là
![This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program.](http://img.loigiaihay.com/picture/article/2017/0213/bai-5-trang-83-sgk-toan-11_4_1486973277.jpg)
![This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program.](http://img.loigiaihay.com/picture/article/2017/0213/bai-5-trang-83-sgk-toan-11_3_1486973277.jpg)
Vậy số đường chéo của đa giác k + 1 cạnh là
+ k - 2 + 1 =
Như vậy, khẳng định cũng đúng với đa giác k + 1 cạnh
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Xét ΔABC có
M là trung điểm của AB
I là trung điểm của AC
Do đó: MI là đường trung bình của ΔBAC
Suy ra: MI//BC và \(MI=\dfrac{BC}{2}\left(1\right)\)
Xét ΔBDC có
K là trung điểm của BD
N là trung điểm của CD
Do đó: KN là đường trung bình của ΔBDC
Suy ra: KN//BC và \(KN=\dfrac{BC}{2}\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) suy ra MI=KN và MI//KN
Xét tứ giác MINK có
MI//KN
MI=KN
Do đó: MINK là hình bình hành
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
1) Vì ABCD là hình bình hành
=> OA=OC, OB=OD
Ta có: OM=OA/2
OP=OC/2
Mà OA=OC => OM=OP
Cm tương tự ta được OQ=ON
Tứ giác MNPQ có OM=OP. OQ=ON
=> MNPQ là hình bình hành
2) Tứ giác ANCQ có OA=OC (cmt), OQ=ON (cmt)
Suy ra tứ giác ANCQ là hình bình hành
Tứ giác BPDM có OB=OD (cmt), OM=OP (cmt)
Suy ra tứ giác BPDM là hình bình hành
Từ mỗi đỉnh của n-giác nối với các đỉnh còn lại ta được n – 1 đoạn thẳng, trong đó có 2 đoạn thẳng là cạnh của hình n-giác (hai đoạn thẳng nối với hai đỉnh kề nhau).
Vậy qua mỗi đỉnh n-giác vẽ được n-3 đường chéo. Hình n-giác có n đỉnh kẻ được n(n- 3) đường chéo, trong đó mỗi đường chéo được tính hai lần. Vậy hình n-giác có tất cả n n - 3 2 đường chéo.