Cho đa thức P(x)=x^3+ax+b.a)Hãy xác a,b nếu 0 và 1 là hai nghiệm của đa thức.b) Khi a,b là các số nguyên và P(0),P(1) là các bội của 3. Hãy chứng minh P(x) chia hết cho 3 với mọi giá trị nguyên của x
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
a) P(0) = 03 + a. x + b =0 => b =0
P ( 1) = 13 + a.1 + 0 = 0 => a =-1
b) P(0) = b = 3 n
P (1) = a +b+1 = 3 m => a = 3m - 3n -1
=> P(x) = x3 + ( 3m -3n -1 ) x + 3n
= x3 - x + 3m x - 3nx +3n = x (x-1)(x+1) + 3 ( mx -nx +n) chia hết cho 3 ( vì x(x-1)(x+1) là 3 số liên tiếp => luôn chia hết cho 3)
Vậy P(x) luôn chia hết cho 3
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Ta có hàm số: P(x) = x3 + ax + b
a, P(0)=0
<=> b=0
P(1)=3 <=> a+b+1=3
=>a=2-0=2
Vì P(0)\(⋮\) 3 => \(b⋮3\)=> b=3 (vì b nguyên tố)
P(1)\(⋮\)3=> a+b+1\(⋮\)3
=> a+1\(⋮\)3
=> a= 3k-1(k là số tự nhiên)
lúc đó \(P\left(x\right)=x^3+x\left(3k-1\right)+3\)
\(=x^3-x+3kx+3=x\left(x-1\right)\left(x+1\right)+3kx+3\)
Vì x,x-1,x+1 là 3 số tự nhiên liên tiếp nên tích chia hết cho 3
=> P(x)\(⋮\)3
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
\(2,\\ PT\Leftrightarrow6x^2+9y^2-\left(x^2+y^2\right)=20412\\ \text{Mà }20412⋮3;6x^2+9y^2⋮3\\ \Leftrightarrow x^2+y^2⋮3\Leftrightarrow x^2⋮3;y^2⋮3\Leftrightarrow x⋮3;y⋮3\)
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}x=3a\\y=3b\end{matrix}\right.\left(a,b\in Z\right)\Leftrightarrow5\left(3a\right)^2+8\left(3b\right)^2=20412\)
\(\Leftrightarrow9\left(5a^2+8b^2\right)=20412\\ \Leftrightarrow5a^2+8b^2=2268\)
Mà \(2268⋮3\Leftrightarrow5a^2+8b^2⋮3\Leftrightarrow a^2⋮3;b^2⋮3\Leftrightarrow a⋮3;b⋮3\)
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}a=3c\\b=3d\end{matrix}\right.\left(c,d\in Z\right)\Leftrightarrow9\left(5c^2+8d^2\right)=2268\Leftrightarrow5c^2+8d^2=252\)
Mà \(252⋮3\Leftrightarrow5c^2+8d^2⋮3\Leftrightarrow c^2⋮3;d^2⋮3\Leftrightarrow c⋮3;d⋮3\)
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}c=3k\\d=3q\end{matrix}\right.\left(k,q\in Z\right)\Leftrightarrow9\left(5k^2+8q^2\right)=252\Leftrightarrow5k^2+8q^2=28\)
\(\Leftrightarrow5k^2=28-8q^2\ge0\Leftrightarrow q^2\le\dfrac{28}{8}=3,5\\ \text{Mà }q\in Z\\ \Leftrightarrow-3\le q^2\le3\Leftrightarrow-1\le q\le1\)
\(\forall q=0\Leftrightarrow k^2=\dfrac{28}{5}\left(ktm\right)\\ \forall q=\pm1\Leftrightarrow k=\pm2\\ \Leftrightarrow\left(c;d\right)=\left(6;3\right);\left(-6;-3\right);\left(-6;3\right);\left(6;-3\right)\\ \Leftrightarrow\left(a;b\right)=\left(18;9\right)\left(-18;-9\right);\left(-18;9\right);\left(18;-9\right)\\ \Leftrightarrow\left(x;y\right)=\left(54;27\right);\left(-54;-27\right);\left(54;-27\right);\left(-54;27\right)\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
F(0)=d⇒d⋮5F(0)=d⇒d⋮5
F(1)=a+b+c+d⋮5⇒a+b+c⋮5F(1)=a+b+c+d⋮5⇒a+b+c⋮5
F(−1)=−a+b−c+d⋮5⇒−a+b−c⋮5F(−1)=−a+b−c+d⋮5⇒−a+b−c⋮5
⇒(a+b+c)+(−a+b−c)⋮5⇒(a+b+c)+(−a+b−c)⋮5
⇒2b⋮5⇒b⋮5⇒2b⋮5⇒b⋮5
⇒a+c⋮5
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
c) Cách 1:
Để \(P\left(x\right)⋮Q\left(x\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(a+3\right)x+b=0\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a+3=0\\b=0\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}a=-3\\b=0\end{cases}}\)
Vậy a=-3 và b=0 để \(P\left(x\right)⋮Q\left(x\right)\)
a)
Để \(2n^2-n+2⋮2n+1\)
\(\Leftrightarrow3⋮2n+1\)
\(\Leftrightarrow2n+1\inƯ\left(3\right)=\left\{\pm1;\pm3\right\}\)
\(\Leftrightarrow n\in\left\{0;1;-2;-1\right\}\)
Vậy \(n\in\left\{0;1;-2;-1\right\}\)để \(2n^2-n+2⋮2n+1\)