Cho hàm số y = f x có đạo hàm liên tục trên ℝ thỏa mãn f x + f π 2 - x = sin x . cos x , với mọi x ∈ ℝ và f 0 = 0 . Giá trị của tích phân ∫ 0 π 2 x . f ' x d x bằng
A. - π 4
B. 1 4
C. π 4
D. - 1 4
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Chọn đáp án C.
Lấy tích phân hai vế trên đoạn [0;2] có
Tích phân từng phần có
Đáp án A
Đặt t = x ⇔ d t = d x 2 x ⇔ d x = 2 d t ; x = 0 ⇒ t = 0 x = 4 ⇒ t = 2
Khi đó I = ∫ 0 4 f ' x d x = ∫ 0 2 2 t . f ' t d t = 2 ∫ 0 2 t . f ' t d t
Đặt u = t d v = f ' t d t ⇔ d u = d t v = f t ⇒ 2 ∫ 0 2 t . f ' t d t = t . f t 0 2 - ∫ 0 2 f t d t = 2 f 2 - 1 = - 5
Vậy tích phân I = 2 . - 5 = - 10 .
Đáp án C
Với f x > 0 , ∀ x ∈ ℝ . Xét biểu thức f ' x f x = 2 - 2 x *
Lấy nguyên hàm 2 vế (*), ta được ∫ d f x f x = ∫ 2 - 2 x d x
⇔ ∫ d f x f x = - x 2 + 2 x + C ⇔ ln f x = - x 2 + 2 x + C
Mà f(0) =1 suy ra C = lnf(0) = ln1 = 0. Do đó f x = e - x 2 + 2 x
Xét hàm số f x = e - x 2 + 2 x trên - ∞ ; + ∞ , có f ' x = - 2 x + 2 = 0 ⇔ x = 1
Tính giá trị f 1 = e ; lim x → - ∞ f x = 0 ; lim x → - ∞ f x = 0
Suy ra để phương trình f(x) = m có hai nghiệm thực phân biệt ⇔ 0 < m < e .
Đáp án D