CMR pt : \(\left(x-a\right)\left(x-b\right)+\left(x-b\right)\left(x-c\right)+\left(x-c\right)\left(x-a\right)=0\) luôn luôn có nghiệm với mọi a,b,c
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
MT
9 tháng 1 2016
\(\left(x-a\right)\left(x-b\right)+\left(x-b\right)\left(x-c\right)+\left(x-c\right)\left(x-a\right)=0\)
\(\Leftrightarrow3x^2-2bx-2ax-2cx+ab+bc+ac=0\)
\(\Leftrightarrow3x^2-2.\left(a+b+c\right).x+ab+bc+ac=0\)
Ta có: \(\Delta=\left[-2\left(a+b+c\right)\right]^2-4.3.\left(ab+bc+ac\right)\)
\(=4a^2+4b^2+4c^2-4ab-4bc-4ac\)
\(=\left(2a^2-4ab+2b^2\right)+\left(2b^2-4bc+2c^2\right)+\left(2c^2-4ac+2a^2\right)\)
\(=2.\left(a-b\right)^2+2\left(b-c\right)^2+2\left(c-a\right)^2\ge0\)
=>PT luôn luôn có nghiệm
Vậy PT trên luôn có nghiệm với mọi a,b,c
AH
Akai Haruma
Giáo viên
26 tháng 1
Lời giải:
$(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)=0$
$\Leftrightarrow 3x^2-2x(a+b+c)+(ab+bc+ac)=0$
Ta thấy:
$\Delta'=(a+b+c)^2-3(ab+bc+ac)=a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac$
$=\frac{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}{2}\geq 0$ với mọi $a,b,c\in\mathbb{R}$
$\Rightarrow$ PT đã cho luôn có nghiệm với mọi $a,b,c$
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
1 tháng 3 2022
Đặt \(f\left(x\right)=\left(x-a\right)\left(x-b\right)+\left(x-b\right)\left(x-c\right)+\left(x-c\right)\left(x-a\right)\)
Hàm \(f\left(x\right)\) hiển nhiên liên tục trên R
Do vai trò a;b;c như nhau, không mất tính tổng quát giả sử \(a< b< c\)
\(f\left(a\right)=\left(a-b\right)\left(a-c\right)\)
\(f\left(b\right)=\left(b-a\right)\left(b-c\right)\)
\(f\left(c\right)=\left(c-a\right)\left(c-b\right)\)
\(f\left(a\right).f\left(b\right)=\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(b-a\right)\left(b-c\right)=\left(a-b\right)^2\left(c-a\right)\left(b-c\right)\)
Do \(a< b< c\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}c-a>0\\b-c< 0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow f\left(a\right).f\left(b\right)< 0\Rightarrow f\left(x\right)\) luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc (a;b)
\(f\left(b\right).f\left(c\right)=\left(b-a\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)\left(c-b\right)=\left(b-c\right)^2\left(a-b\right)\left(c-a\right)\)
Do \(a< b< c\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a-b< 0\\c-a>0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow f\left(b\right).f\left(c\right)< 0\Rightarrow f\left(x\right)\) luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc (b;c)
Vậy pt đã cho luôn có 2 nghiệm phân biệt
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
8 tháng 3 2022
a.
- Với \(m=\pm1\Rightarrow-6x=1\Rightarrow x=-\dfrac{1}{6}\) có nghiệm
Đặt \(f\left(x\right)=\left(1-m^2\right)x^3-6x-1\)
- Với \(\left[{}\begin{matrix}m>1\\m< -1\end{matrix}\right.\Rightarrow1-m^2>0\)
\(f\left(0\right)=-1< 0\)
\(\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}\left[\left(1-m\right)^2x^3-6x-1\right]\)
\(=\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}x^3\left(1-m^2-\dfrac{6}{m^2}-\dfrac{1}{m^3}\right)=-\infty\left(1-m^2\right)=+\infty\) dương
\(\Rightarrow f\left(x\right)\) luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc \(\left(-\infty;0\right)\)
- Với \(-1< m< 1\Rightarrow1-m^2< 0\)
\(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\left[\left(1-m^2\right)x^3-6x-1\right]=\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}x^3\left[\left(1-m^2\right)-\dfrac{6}{x^2}-\dfrac{1}{x^3}\right]=+\infty\left(1-m^2\right)=+\infty\) dương
\(\Rightarrow f\left(x\right)\) luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc \(\left(0;+\infty\right)\)
Vậy pt đã cho có nghiệm với mọi m
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
8 tháng 3 2022
b. Để chứng minh pt này có đúng 1 nghiệm thì cần áp dụng thêm kiến thức 12 (tính đơn điệu của hàm số). Chỉ bằng kiến thức 11 sẽ ko chứng minh được
c.
Đặt \(f\left(x\right)=\left(m-1\right)\left(x-2\right)^2\left(x-3\right)^3+2x-5\)
Do \(f\left(x\right)\) là hàm đa thức nên \(f\left(x\right)\) liên tục trên R
\(f\left(2\right)=4-5=-1< 0\)
\(f\left(3\right)=6-5=1>0\)
\(\Rightarrow f\left(2\right).f\left(3\right)< 0\) với mọi m
\(\Rightarrow f\left(x\right)\) luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc (2;3) với mọi m
Hay pt đã cho luôn luôn có nghiệm
pt <=> \(x^2-ax-bx+ab+x^2-bx-cx+bc+x^2-cx-ax+ac=0\)
<=> \(3x^2-2x\left(a+b+c\right)+\left(ab+bc+ac\right)=0\)
Có : \(\Delta'=\left(a+b+c\right)^2-3\left(ab+bc+ac\right)\)
<=> \(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\) với mọi a ; b; c
Nhân tung ra rút gọn sau đó tính denta