Tìm tổng tất cả các giá trị nguyên của m để phương trình
4
1
+
x
+
4
1
-
x
=
(
m
+
1
)
(
2
2
+
x
-
2
2
-
x
)
+
16
-
8
m
có nghiệm trên
0
;
1
A. 2. B. 5. C. 4. D....
Đọc tiếp
Tìm tổng tất cả các giá trị nguyên của m để phương trình 4 1 + x + 4 1 - x = ( m + 1 ) ( 2 2 + x - 2 2 - x ) + 16 - 8 m có nghiệm trên 0 ; 1
A. 2.
B. 5.
C. 4.
D. 3.
Đáp án D.
Phương trình tương đương với
Đặt 2 x - 1 2 x = t → 4 x + 1 4 x = t 2 + 2 . Xét hàm số t ( x ) = 2 x - 1 2 x trên 0 ; 1 .
Đạo hàm t ' ( x ) = 2 x . ln 2 + ln 2 2 x > 0 , ∀ x ∈ 0 ; 1 ⇒ Hàm số t ( x ) luôn đồng biến trên 0 ; 1 . Suy ra min x ∈ 0 ; 1 t ( x ) = t ( 0 ) = 0 và max x ∈ 0 ; 1 t ( x ) = t ( 1 ) = 3 2 . Như vậy t ∈ 0 ; 3 2 .
Phương trình (1) có dạng:
Phương trình (1) có nghiệm t ∈ 0 ; 1 ⇔ phương trình ẩn t có nghiệm t ∈ 0 ; 3 2 ⇔ 0 ≤ m - 1 ≤ 3 2 ⇔ 1 ≤ m ≤ 5 2 . Mà m ∈ ℤ nên m ∈ 1 ; 2 . Tổng tất cả các giá trị nguyên của m bằng 3.