Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB. Gọi M là điểm bất kì thuộc nửa đường tròn, H là chân đường vuông góc kẻ từ M đén AB. Vẽ đường tròn (M; MH). Kẻ các tiếp tuyến AC, BD với đường tròn tâm M (C và D là các tiếp điểm khác H). Chứng minh rằng khi điểm M di chuyển trên nửa đường tròn (O) thì tổng AC + BD không đổi
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Trong đường tròn (M; MH), theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có:
- MA là tia phân giác của góc HMC
Vậy C, M, D thẳng hàng.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Ta có: AC ⊥ CD và BD ⊥ CD (tính chất tiếp tuyến)
Suy ra: AC // BD hay tứ giác ABDC là hình thang
Mà OA = OB (bán kính (O))
Và AC = MD (bán kính (M))
Suy ra OM là đường trung bình của hình thang ABDC
Khi đó OM // AC. Suy ra: OM ⊥ CD hay góc (OMI) = 90 °
Tam giác OMI vuông tại M có MH ⊥ OI
Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có: O M 2 = OH.OI
Suy ra: OH.OI = R 2 không đổi.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
a: Xét tứ giác ABNM có
AM//BN
góc AMN=90 độ
Do đó: ABNM là hình thang vuông
b: AM//CO
=>gó MAC=góc OCA=góc OAC
=>AC là phân giác của góc BAM
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
a: Xét tứ giác ABNM có
AM//BN
góc AMN=90 độ
=>ABNM là hình thang vuông
b: AM//CO
=>góc MAC=góc OCA
=>góc MAC=góc OAC
=>AC là phân giác của góc BAM
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O) có AB là đường kính nên góc (ACB) = 90 °
Tam giác ABC vuông tại C có CH ⊥ AB
Theo hệ thức liên hệ giữa đường cao và hình chiếu, ta có:
C H 2 = HA.HB (3)
Xét hai tam giác ACH và ACE, ta có:
CH = CE (tính chất đường phân giác)
AC chung
Suy ra : ∆ ACH = ∆ ACE (cạnh huyền, cạnh góc vuông)
Suy ra: AH = AE (4)
Xét hai tam giác BCH và BCF, ta có:
CH = CF (= CE)
BC chung
Suy ra: ∆ BCH = ∆ BCF (cạnh huyền, cạnh góc vuông)
Suy ra: BH = BF (5)
Từ (3), (4) và (5) suy ra: C H 2 = AE.BF
Trong đường tròn (M; MH), theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có:
AC = AH và BD = BH
Khi M thay đổi trên nửa đường tròn tâm O thì AC luôn bằng AH và BD luôn bằng BH
Suy ra: AC + BD = AH + BH = AB không đổi