Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC đều cạnh a, tam giác SBA vuông tại B, tam giác SAC vuông tại C. Biết góc giữa hai măt phẳng (SAB) và (ABC) bằng 60 0 . Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a.
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Đáp án B
Gọi M là trung điểm của
S A ⇒ M A = M B = M C ⇒ Gọi H là trọng tâm của Δ A B C thì M H ⊥ A B C .
Gọi I là trung điểm của AB thì M I C ⊥ A B ⇒ S A B , A B C ^ = M I C ^ = 60 0 .
Ta có I H = 1 3 I C = 1 3 . a 3 2 = a 3 6 ⇒ M H = I H . tan 60 0 = a 2 ⇒ d C , A B C = 2 M H = a .
Vậy
V S . A B C = 1 3 . a . a 2 3 4 = a 3 3 12 .
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Chọn B
Gọi D là hình chiếu của S lên mặt phẳng (ABC), suy ra S D ⊥ A B C .
Ta có S D ⊥ A B và S B ⊥ A B ( g t ) , suy ra A B ⊥ S B D ⇒ B A ⊥ B D .
Tương tự có A C ⊥ D C hay tam giác ACD vuông ở C.
Dễ thấy ∆ S B A = ∆ S C A (cạnh huyền và cạnh góc vuông), suy ra SB=SC. Từ đó ta chứng minh được ∆ S B D = ∆ S C D nên cũng có DB=DC.
Vậy DA là đường trung trực của BC, nên cũng là đường phân giác của góc B A C ^ .
Ta có
D
A
C
^
=
30
o
, suy ra
D
C
=
a
3
. Ngoài ra góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (ABC) là
S
B
D
^
=
60
o
suy ra
tan
S
B
D
^
=
S
D
B
D
⇒
S
D
=
B
D
tan
S
B
D
^
=
a
3
.
3
=
a
Vậy
V
S
.
A
B
C
=
1
3
.
S
∆
A
B
C
.
S
D
=
1
3
a
2
3
4
.
a
=
a
3
3
12
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Chọn đáp án B
Gọi là H hình chiếu của đỉnh S xuống mặt phẳng (ABC). Khi đó, ta có
Ta có
Tương tự, ta cũng chứng minh được
Từ đó suy ra
Do SH ⊥ AB, BH ⊥ AB nên suy ra góc giữa (SAB) và (ABC) là góc SBH. Vậy SBH = 60 0
Trong tam giác vuông ABH, ta có
Trong tam giác vuông SHB, ta có
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Chọn D
Ta có tam giác ABC vuông tại A góc A B C ^ = 30 o và BC = a, suy ra AC = a 2 , AB = a 3 2
Lại có S A B ⊥ A B C C A ⊥ A B ⇒ A C ⊥ S A B , suy ra tam giác SAC vuông tại A.
Suy ra S A = S C 2 - A C 2 = a 2 - a 2 2 = a 3 2
Tam giác SAB có S A = a 3 2 , A B = a 3 2 , S B = a SB=a. Từ đó sử dụng công thức Hê-rông ta tính được S S A B = a 2 2 4 ⇒ S H = 2 S S A B A B = a 6 3 ⇒ B H = a 3 3 = 2 A B 3 .
Suy ra d(H,(SBC)) = 2 3 d A , S B C . Từ H kẻ H K ⊥ B C .
Kẻ H E ⊥ S K ⇒ H E ⊥ S B C
Ta dễ tính được H K = a 3 6 ⇒ d H , S B C = a 6 9 .
Vậy d A , S B C = 3 2 d H , S B C = 3 2 . a 6 9 = a 6 6 .
Đáp án B