Đồ thị hàm số y = x 4 - 2 m 2 x 2 + m 2 (m là tham số) có ba điểm cực trị A, B, C sao cho bốn điểm A, B, C, O là bốn đỉnh của hình thoi (O là gốc toạ độ) khi và chỉ khi
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
a) Xét hàm số \(y=ax^4+bx^2+c\)
Ta có \(y'=4ax^3+2bx=2x\left(2ax^2+b\right)\)
\(y'=0\Leftrightarrow x=0\) hoặc \(2ax^2+b=0\left(1\right)\)
Đồ thị hàm số có 3 cực trị phân biệt khi và chỉ khi \(y'=0\) có 3 nghiệm phân biệt hay phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt khác 0 \(\Leftrightarrow ab< 0\) (*)
Với điều kiện (*) thì đồ thị có 3 điểm cực trị là :
\(A\left(0;c\right);B\left(-\sqrt{-\frac{b}{2a},}c-\frac{b^2}{4a}\right);C\left(\sqrt{-\frac{b}{2a},}c-\frac{b^2}{4a}\right)\)
Ta có \(AB=AC=\sqrt{\frac{b^2-8ab}{16a^2}};BC=\sqrt{-\frac{2b}{a}}\) nên tam giác ABC vuông khi và chỉ khi vuông tại A.
Khi đó \(BC^2=2AB^2\Leftrightarrow b^3+8a=0\)
Do đó yêu cầu bài toán\(\Leftrightarrow\begin{cases}ab< 0\\b^3+8a=0\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\begin{cases}-2\left(m+1\right)< 0\\-8\left(m+1\right)^3+8=0\end{cases}\)\(\Leftrightarrow m=0\)
b) Ta có yêu cầu bài toán \(\Leftrightarrow\begin{cases}ab< 0\\OA=BC\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\begin{cases}-2\left(m+1\right)< 0\\m^2-4\left(m+1\right)=0\end{cases}\)
\(\Leftrightarrow m=2\pm2\sqrt{2}\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Ta có : y’ = 4x3-4( m+ 1) x= 4x( x2- (m+ 1) ).
Hàm số có điểm cực trị khi và chỉ khi y’ = 0 có nghiệm phân biệt hay m+1> 0 suy ra m> - 1. (*)
Khi đó, ta có:
Do đó O A = B C ⇔ m = 2 m + 1 ⇔ m 2 - 4 m - 4 = 0 ( ∆ ' = 8 ) ⇔ m = 2 ± 2 2 (thỏa mãn (*)).
Vậy m = 2 ± 2 2 .
Chọn A.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Chọn A
Ta có:
Hàm số có 3 điểm cực trị khi và chỉ khi :
y ' có 3 nghiệm phân biệt
⇔ m + 1 > 0 ⇔ m > - 1 ( * )
Khi đó, ta có y ' = 0
(vai trò của B, C trong bài toán là như nhau ) nên ta giả sử
Ta có: O A ( 0 ; m ) ⇒ O A = m ⇒ B C = 2 m + 1
Do đó OA = BC
⇔ m = 2 ± 2 2 ( t h ỏ a m ã n ) ( * )
Vậy m = 2 ± 2 2
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Đáp án là B.
+ Hàm số có 3 cực trị khi − 2 m + 1 < 0 ⇔ m > − 1. (1)
+ y ' = 4 x 3 − 4 m + 1 x = 0 ⇔ x = 0 x = ± m + 1
Các điểm cực trị A, B, C của đồ thị là: A 0 ; m ;
B m + 1 ; − m 2 − m − 1 ; C − m + 1 ; − m 2 − m − 1
+ O A = B C ⇔ m = 2 m + 1 ⇔ m 2 − 4 m − 4 = 0
⇔ m = 2 ± 2 2 .
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Khi đó điểm cực đại của đồ thị hàm số là A(0;m) và tọa độ 2 điểm cực tiểu là
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Đáp án A
Ta có:
Hàm số có 3 điểm cực trị khi m > –1
Ba điểm cực trị của đồ thị hàm số là ;
Đáp án đúng : D