Cho hàm số
y
=
f
x
=
e
x
a
sin
x
+
b
cos
x
với a, b là các số thực thay đổi và phương trình
f
'
x
+
f
'
'
x
=
10
e
x
có nghiệm. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
S
=
a
2
-
2
a
b
+
3
b
2
....
Đọc tiếp
Cho hàm số y = f x = e x a sin x + b cos x với a, b là các số thực thay đổi và phương trình f ' x + f ' ' x = 10 e x có nghiệm. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = a 2 - 2 a b + 3 b 2 .
A. 10 - 20 2
B. 20 + 10 2
C. 10 + 20 2
D. 20 - 10 2
.
.
.
.
Chọn đáp án D
Ta có
Suy ra
Từ giả thiết ta có f ' x + f ' ' x = 10 e x
Để phương trình f ' x + f ' ' x = 10 e x có nghiệm
⇔ Phương trình (*) có nghiệm
* Nếu b = 0 thì S = a 2 ≥ 10
* Nếu b ≠ 0 thì S = a 2 - 2 a b + 3 b 2 ≥ 10 . a b 2 - 2 . a b + 3 a b 2 + 1 .
Đặt t = a b t ∈ R , suy ra S ≥ 10 . t 2 - 2 t + 3 t 2 + 1 .
Xét hàm số f t = t 2 - 2 t + 3 t 2 + 1 trên R.
Ta có
Bảng biến thiên:
Quan sát bảng biến thiên ta thấy f t ≥ 2 - 2