Cho tam giác ABC nhọn, đường cao BM và CN cắt nhau tại H. Chứng minh các tứ giác AMHN và BNMC là những tứ giác nội tiêp
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
24 tháng 1 2021
Vì BM, CN là 2 đường cao ứng vs AC, AB (gt)
\(\Rightarrow\) \(\widehat{AMB}=\widehat{ANC}\) = 90o
\(\Rightarrow\) \(\widehat{AMH}=\widehat{ANH}\) = 90o (H \(\in\) BM; H \(\in\) CN do BM \(\cap\) CN tại H)
Xét tứ giác ANHM có: \(\widehat{AMH}=\widehat{ANH}\)
\(\widehat{AMH}\) và \(\widehat{ANH}\) là 2 góc đối nhau (gt)
\(\Rightarrow\) ANHM là tứ giác nội tiếp (dhnb tứ giác nội tiếp)
Vì BM, CN là 2 đường cao ứng vs AC, AB (gt)
\(\Rightarrow\) \(\widehat{BNC}=\widehat{CMB}\) = 90o
Mà \(\widehat{BNC}\) và \(\widehat{CMB}\) đều nhìn cạnh BC với một góc 90o (cmt)
\(\Rightarrow\) BNMC là tứ giác nột tiếp (dhnb tứ giác nội tiếp)
Chúc bn học tốt!
24 tháng 1 2021
Gọi O là trung điểm của AH
Ta có: ΔANH vuông tại N(HN⊥AB tại N)
mà NO là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AH(O là trung điểm của AH)
nên \(NO=\dfrac{AH}{2}\)(Định lí 1 về áp dụng hình chữ nhật vào tam giác vuông)(1)
Ta có: ΔAMH vuông tại M(HM⊥AC tại M)
mà MO là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AH(O là trung điểm của AH)
nên \(MO=\dfrac{AH}{2}\)(Định lí 1 về áp dụng hình chữ nhật vào tam giác vuông)(2)
Ta có: O là trung điểm của AH(cmt)
nên \(AO=OH=\dfrac{AH}{2}\)(3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra OA=ON=OM=OH
⇔A,H,M,N∈(O)
hay tứ giác AMHN nội tiếp đường tròn(O)
Gọi D là trung điểm của BC
Ta có: ΔCBN vuông tại N(CN⊥AB tại N)
mà ND là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC(D là trung điểm của BC)
nên \(ND=\dfrac{BC}{2}\)(Định lí 1 về áp dụng hình chữ nhật vào tam giác vuông)(4)
Ta có: ΔMBC vuông tại M(MB⊥AC tại M)
mà MD là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC(D là trung điểm của BC)
nên \(MD=\dfrac{BC}{2}\)(Định lí 1 về áp dụng hình chữ nhật vào tam giác vuông)(5)
Ta có: D là trung điểm của BC(theo cách gọi)
nên \(BD=DC=\dfrac{BC}{2}\)(6)
Từ (4), (5) và (6) suy ra DB=DC=DN=DM
⇔B,C,N,M∈(D)
hay tứ giác BNMC nội tiếp đường tròn(D)(đpcm)
6 tháng 10 2021
a: Xét tứ giác BNMC có
\(\widehat{BNC}=\widehat{BMC}=90^0\)
Do đó: BNMC là tứ giác nội tiếp
hay B,N,M,C cùng thuộc một đường tròn
b: Xét ΔAMB vuông tại M và ΔANC vuông tại N có
\(\widehat{NAC}\) chung
Do đó: ΔAMB\(\sim\)ΔANC
Suy ra: \(\dfrac{AM}{AN}=\dfrac{AB}{AC}\)
hay \(\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}\)
Xét ΔAMN và ΔABC có
\(\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}\)
\(\widehat{NAC}\) chung
Do đó: ΔAMN\(\sim\)ΔABC
26 tháng 3 2018
A) góc amh=anh=90=>tứ giác amhn noi tiếp
B)Góc BMC = BNC =90->tứ giác BNMC nội tiếp
C)Gọi giao điểm của AO với MN là P. Kẻ đường kính AA'
Chứng minh ABC đồng dạng AMN
Chứng minh tứ giác PA'CM nội tiếp
Mà góc MCA'=90=>MPA'=90
20 tháng 6 2023
a: góc ANH+góc AMH=180 độ
=>AMHN nội tiếp
b: Tham khảo
Tứ giác MCDE nội tiếp nên góc MED = 180 - C (1).
Tứ giác NBDE nội tiếp nên góc NED = 180 - B (2).
Mà góc MEN = 360 - MED - NED (3).
Thay (1), (2) vào (3) được: góc MEN = 360 - (180 - C) - (180 - B) = B +C = 180 - A.
Suy ra MEN + MAN =180. Vậy tứ giác MENA nội tiếp.
=>E thuộc đường tròn ngoại tiếp ΔAMN
7 tháng 3 2022
a: Xét ΔABC có
BM là đường cao
CN là đường cao
BM cắt CN tại H
Do đó: H là trực tâm của ΔABC
=>AH\(\perp\)BC
b: Xét tứ giác AMHN có \(\widehat{AMH}+\widehat{ANH}=180^0\)
nên AMHN là tứ giác nội tiếp
c: Xét tứ giác BCMN có \(\widehat{BNC}=\widehat{BMC}=90^0\)
nên BCMN là tứ giác nội tiếp
8 tháng 1
a: Xét (O) có
ΔABM nội tiếp
AM là đường kính
Do đó: ΔABM vuông tại B
=>BM\(\perp\)AB
mà CH\(\perp\)AB
nên CH//BM
Xét (O) có
ΔACM nội tiếp
AM là đường kính
Do đó: ΔACM vuông tại C
=>AC\(\perp\)CM
mà BH\(\perp\)AC
nên BH//CM
Xét tứ giác BHCM có
BH//CM
BM//CH
Do đó: BHCM là hình bình hành
b:
Xét ΔABC có
BE,CF là các đường cao
BE cắt CF tại H
Do đó: H là trực tâm của ΔABC
=>AH\(\perp\)BC tại D
Xét (O) có
\(\widehat{ABC}\) là góc nội tiếp chắn cung AC
\(\widehat{AMC}\) là góc nội tiếp chắn cung AC
Do đó: \(\widehat{ABC}=\widehat{AMC}\)
Ta có: \(\widehat{ABC}+\widehat{BAN}=90^0\)(ΔADB vuông tại D)
\(\widehat{AMC}+\widehat{MAC}=90^0\)(ΔACM vuông tại C)
mà \(\widehat{ABC}=\widehat{AMC}\)
nên \(\widehat{BAN}=\widehat{MAC}\)
Xét (O) có
ΔANM nội tiếp
AM là đường kính
Do đó: ΔANM vuông tại N
=>AN\(\perp\)NM
mà AN\(\perp\)BC
nên BC//NM
Ta có: \(\widehat{CHD}=\widehat{ABC}\)(=90 độ-góc FCB)
\(\widehat{ABC}=\widehat{ANC}\)
Do đó: \(\widehat{CHD}=\widehat{ANC}\)
=>ΔCHN cân tại C
=>CH=CN
mà CH=BM
nên BM=CN
Xét tứ giác BCMN có BC//MN
nên BCMN là hình thang
Hình thang BCMN có BM=CN
nên BCMN là hình thang cân
Xét tứ giác AMHN có: A M H ^ + A N H ^ = 90 0 + 90 0 = 180 0 => Đpcm
Xét tứ giác BNMC có: B N C ^ = B M C ^ = 90 0 => Đpcm