Muốn làm một bồn chứa 1000 lít hình trụ có nắp đậy. Hỏi chiều cao h ( dm) của bồn là để ít tốn vật liệu nhất. Gần với giá trị nào nhất
A. 10, 5
B. 10,6
C. 10, 7
D. 10, 8
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Đáp án B.
Gọi h(m) là chiều cao của chiếc bồn nước, h > 0 .
Thể tích của chiếc bồn là V = π r 2 h = 10 ⇒ h = 10 π r 2 .
Diện tích toàn phần của chiếc bồn là:
S t p = 2 π r 2 + 2 π r h = 2 π r 2 + 2 π r . 10 π r 2 = 2 π r 2 + 20 r = 2 π r 2 + 10 r + 10 r
Cách 1: Theo bất đẳng thức Côsi ta có: S t p ≥ 3 2 π r 2 . 10 r . 10 r 3 = 3. 200 π 3 .
Dấu “=” xảy ra khi
2 π r 2 = 10 r ⇔ r 3 = 5 π ⇔ r = 5 π 3
Vậy với r = 5 π 3 thì lượng inox được sử dụng để làm bồn nước là ít nhất.
Cách 2: Xét hàm số f r = 2 π r 2 + 20 r , r > 0 .
Ta có
f ' r = 4 π r − 20 r 2 = 4 π r 3 − 20 r 2 ; f ' r = 0 ⇔ 4 π r 3 − 20 = 0 ⇔ r 3 = 5 π ⇔ r = 5 π 3
Bảng biến thiên:
⇒ f r đạt giá trị nhỏ nhất tại r = 5 π 3 .
Đáp án B
Yêu cầu bài toán “Tìm R để diện tích toàn phần của hình truh là nhỏ nhất”
Gọi h là chiều cao của hình trụ Thể tích khối trụ là V = π R 2 h = 10 ⇒ h = 10 π R 2 1
Diện tích toàn phần của hình trụ là: S T P = S x q + 2 × S d = 2 π R h + 2 π R 2 2
Từ (1); (2) suy ra S T P = 2 π R 2 + 20 R = 2 π R 2 + 10 R + 10 R ≥ 3 200 π 3
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi 2 π R 2 = 10 R ⇔ R = 5 π 3 m
Để ít tốn vật liệu nhất thì diện tích toàn phần bồn nước phải nhỏ nhất.
Tức là Stp= 2πR2+ 2πRh nhỏ nhất ( với R là bán kính đường tròn đáy)
Thể tích bồn nước V = π R 2 h = 1000 ⇒ R = 1000 π h
Khi đó :
Sử dụng bảng biến thiên, ta tìm được Stp nhỏ nhất khi
h = 4000 π 3
Chọn D.