Cho tam giác ABC vuông tại A. Đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với BC tại D. Chứng minh rằng S A B C = BD.DC
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Pitago: \(BC^2=AB^2+AC^2\Rightarrow BC^2-\left(AB^2+AC^2\right)=0\)
Gọi các tiếp điểm với AB và AC là E và F
Do đường tròn (I) nội tiếp tam giác, theo t/c hai tiếp tuyến cắt nhau:
\(BD=BE\) ; \(AE=AF\) ; \(CD=CF\)
Mà \(BD+CD=BC;AE+BE=AB;AF+CF=AC\)
\(\Rightarrow BC+AB-AC=BD+CD+AB+BE-AF-CF=BD+BE=2BD\)
\(\Rightarrow BD=\dfrac{BC+AB-AC}{2}\)
Tương tự: \(BC+AC-AB=2DC\Rightarrow DC=\dfrac{BC+AC-AB}{2}\)
\(\Rightarrow BD.DC=\dfrac{1}{4}\left(BC+AB-AC\right)\left(BC+AC-AB\right)=\dfrac{1}{4}\left[BC^2-\left(AB-AC\right)^2\right]\)
\(=\dfrac{1}{4}\left(BC^2-\left(AB^2+AC^2\right)+2AB.AC\right)=\dfrac{1}{2}AB.AC=S_{ABC}\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Đặt BC = a , AC = b , AB = c . Ta có :
\(BD=\frac{a+c-d}{2}\)
\(DC=\frac{a+b-c}{2}\)
Do đó , ta giả sử \(\left(b\ge c\right)\)
\(BD.DC=\frac{a+c-b}{2}.\frac{a+b-c}{2}\)
\(=\frac{a-\left(b-c\right)}{2}.\frac{a+\left(b-c\right)}{2}\)
\(=\frac{a^2-\left(b-c\right)^2}{4}\)
\(=\frac{a^2-b^2+2bc-c^2}{4}\)
\(=\frac{a^2-\left(b^2+c^2\right)+2bc}{4}\)
Do \(a^2=b^2+c^2\)nên \(BD.DC=\frac{2bc}{3}=\frac{bc}{2}=S_{ABC}\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
\(\overrightarrow{ID}.\overrightarrow{AA'}=\overrightarrow{ID}\left(\overrightarrow{IA'}-\overrightarrow{IA}\right)=\overrightarrow{ID}.\overrightarrow{IA'}-\overrightarrow{ID}.\overrightarrow{IA}=IA'^2-\overrightarrow{ID}.\overrightarrow{IA}\)
\(=IA'^2-\left(\overrightarrow{IC'}+\overrightarrow{C'D}\right)\overrightarrow{IA}=IA'^2-\overrightarrow{IC'}.\overrightarrow{IA'}-\overrightarrow{C'D}.\overrightarrow{IA}=IA'^2-IC'^2-0\) (vì AI vuông góc với C'B')
\(=r^2-r^2=0\) (r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC)
ĐFCM
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
a) x4+x3+2x2+x+1=(x4+x3+x2)+(x2+x+1)=x2(x2+x+1)+(x2+x+1)=(x2+x+1)(x2+1)
b)a3+b3+c3-3abc=a3+3ab(a+b)+b3+c3 -(3ab(a+b)+3abc)=(a+b)3+c3-3ab(a+b+c)
=(a+b+c)((a+b)2-(a+b)c+c2)-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a2+2ab+b2-ac-ab+c2-3ab)=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-ac-bc)
c)Đặt x-y=a;y-z=b;z-x=c
a+b+c=x-y-z+z-x=o
đưa về như bài b
d)nhóm 2 hạng tử đầu lại và 2hangj tử sau lại để 2 hạng tử sau ở trong ngoặc sau đó áp dụng hằng đẳng thức dề tính sau đó dặt nhân tử chung
e)x2(y-z)+y2(z-x)+z2(x-y)=x2(y-z)-y2((y-z)+(x-y))+z2(x-y)
=x2(y-z)-y2(y-z)-y2(x-y)+z2(x-y)=(y-z)(x2-y2)-(x-y)(y2-z2)=(y-z)(x2-2y2+xy+xz+yz)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Gọi E, F lần lượt là tiếp điểm của đường tròn đã cho với các cạnh AB, AC. Đặt AE = AF = x. Ta có BD = BE, CF = CD. Từ đó ta có:
AB.AC = ( x + BD )( x + CD ) = x2 + ( BD + DC )x + BD.CD (1)
Do ABC là tam giác vuông nên theo định lý Pytago, ta có:
AB2 + AC2 = BC2 trở thành ( x + BD )2 + ( x + CD )2 = ( DB + DC )2 <=> ( x2 + ( BD + DC )x) = BD.DC <=> ( x + BD )( x + CD ) = 2BD.CD (2).
Từ (1), (2) suy ra đpcm.
cho 1 hinh duoc tao bang nua hinh tron co duong tron 2 dm va 1 hinh tam giac co duong cao 3dm,day2dm
lam on hay giup minh nhe! co giao minh sap kiem tra rui. cam on
Gọi E và F lần lượt là tiếp điểm của đường tròn với AD và AC
Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có:
AE = AF
BE = BD
CD = CF
BD = BC + CD
BE = AB – AE
Suy ra: BD + BE = AB + BC – (AE + CD)
= AB + BC – (AE + CE)
= AB + BC – AC
Suy ra: BD = (AB + BC - AC)/2
Lại có: CD = BC – BD
CF = AC = AF
Suy ra: CD + CF = BC + AC – (BD + AF)
= BC + AC – (BE + AE)
= BC + AC – BA
Vậy S A B C = BD.DC.
sao k chụp ht bài luôn