K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

19 tháng 10 2020

sử dụng \((t+1/t)^2 = t^2 + 1/t^2 +2\)

31 tháng 12 2017

Ta co \(\left(a-b\right)^2\ge0\)\(\forall_{a,b}\in R\)

=> \(a^2-2ab+b^2\ge0\)

=>\(a^2+2ab+b^2\ge4ab\)

=>\(\left(a+b\right)^2\ge4ab\)

=>\(\left(\frac{a+b}{2}\right)^2\ge ab\)

31 tháng 12 2017

dau bang xay khi khi a=b

24 tháng 4 2020

Định đi ngủ mà chợt nhớ lúc chiều có hứa là làm giúp chủ tus nên h phải làm =)))

Violympic toán 8

23 tháng 4 2020

Ý em là câu b ý, câu a em chịu :v

22 tháng 3 2021

1) a2 - ab + b2 ≥ 0

<=> ( 4a2 - 4ab + b2 ) + 3b2 ≥ 0

<=> ( 2a - b )2 + 3b2 ≥ 0 ( đúng ∀ a,b )

Vậy bđt ban đầu được chứng minh

Đẳng thức xảy ra <=> a = b = 0

2) a2 - ab + b2 ≥ 1/4( a + b )2

<=> 4a2 - 4ab + 4b2 ≥ a2 + 2ab + b2

<=> 4a2 - 4ab + 4b - a2 - 2ab - b2 ≥ 0

<=> 3a2 - 6ab + 3b2 ≥ 0

<=> a2 - 2ab + b2 ≥ 0

<=> ( a - b )2 ≥ 0 ( đúng ∀ a,b )

Vậy bđt ban đầu được chứng minh

Đẳng thức xảy ra <=> a = b 

12 tháng 6 2020

Vì abc = 1 nên \(\frac{a}{ab+a+1}+\frac{b}{bc+b+1}+\frac{c}{ca+c+1}\)\(=\frac{ac}{abc+ac+c}+\frac{abc}{abc^2+abc+ac}+\frac{c}{ca+c+1}\)

\(=\frac{ac}{ac+c+1}+\frac{1}{ac+c+1}+\frac{c}{ac+c+1}=\frac{ac+c+1}{ac+c+1}=1\)(*)

Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky dạng phân thức và áp dụng đẳng thức (*), ta được:

\(\frac{a}{\left(ab+a+1\right)^2}+\frac{b}{\left(bc+b+1\right)^2}+\frac{c}{\left(ca+c+1\right)^2}\)\(=\frac{\left(\frac{a}{ab+a+1}\right)^2}{a}+\frac{\left(\frac{b}{bc+b+1}\right)^2}{b}+\frac{\left(\frac{c}{ca+c+1}\right)^2}{c}\)

\(\ge\frac{\left(\frac{a}{ab+a+1}+\frac{b}{bc+b+1}+\frac{c}{ca+c+1}\right)^2}{a+b+c}=\frac{1}{a+b+c}\)

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1

16 tháng 8 2021

\(xy\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}\)( bđt cauchy ) 

\(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2\sqrt{\frac{x}{y}.\frac{y}{x}}=2\)( bđt cauchy ) 

\(\Rightarrow\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+\frac{xy}{\left(x+y\right)^2}\ge2+\frac{\frac{\left(x+y\right)^2}{4}}{\left(x+y\right)^2}=2+\frac{1}{4}=\frac{9}{4}\)

26 tháng 12 2019

Chuẩn hóa \(a+b+c=3\) rồi dùng hệ số bất định nha bạn.Mình nhác quá chỉ gợi ý thôi.Nếu cần thì trưa mai đi học về mình làm cho.

27 tháng 12 2019

Thấy có lời giải này hay hay nên mình copy lại nha (Trong sách Yếu tố ít nhất - Võ Quốc Bá Cẩn)

26 tháng 4 2020

Ta có: \(x^2+y^2+z^2+t^2-xy-xz-xt\ge0\)(1)

<=> \(2x^2+2y^2+2z^2+2t^2-2xy-2xz-2xt\ge0\)

<=> \(\left(x^2+y^2+z^2-2xy-2xz+2yz\right)+\left(y^2+z^2-2yz\right)+\left(x^2-2xt+t^2\right)+t^2\ge0\)

<=> \(\left(x-y-z\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(x-t\right)^2+t^2\ge0\)đúng 

=> (1) đúng 

Dấu "=" xảy ra <=> x = y = z = 0

26 tháng 4 2020

Ta có: \(x^2+y^2+z^2+t^2\ge x\left(y+z+t\right)\)

<=> \(x^2+y^2+z^2+t^2-x\left(y+z+t\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+t^2-xy-xz-xt\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{x^2}{4}-xy+y^2\right)+\left(\frac{x^2}{4}-xz+z^2\right)+\left(\frac{x^2}{4}-xt+t^2\right)+\frac{x^2}{4}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{x}{2}-y\right)^2+\left(\frac{x}{2}-z\right)^2+\left(\frac{x}{2}-t\right)^2\ge0\)(BĐT đúng)

Vậy có: \(x^2+y^2+z^2+t^2\ge x\left(y+z+t\right)\)

Đẳng thức xảy ra <=> \(\left(\frac{x}{2}-y\right)^2=\left(\frac{x}{2}-z\right)^2=\left(\frac{x}{2}-t\right)^2=\frac{x^2}{4}=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{x}{2}-y=\frac{x}{2}-z=\frac{x}{2}-t=x=0\)

<=> x=y=z=t=0

Bài toán. Cho \(x,y,z>0,x+y+z\le k\). Chứng minh:\(\frac{1}{x^2+y^2+z^2}+\frac{2m^2}{xy+yz+zx}\ge\frac{\left(1+2m\right)^2}{k^2}\)Nói chung, cách chứng minh bài này không có gì khó, thậm chí có thể nói là rất dễ....
Đọc tiếp

Bài toán. Cho \(x,y,z>0,x+y+z\le k\). Chứng minh:

\(\frac{1}{x^2+y^2+z^2}+\frac{2m^2}{xy+yz+zx}\ge\frac{\left(1+2m\right)^2}{k^2}\)

Nói chung, cách chứng minh bài này không có gì khó, thậm chí có thể nói là rất dễ. Vì:;

\(\frac{1}{x^2+y^2+z^2}+\frac{2m^2}{xy+yz+zx}=\frac{1}{x^2+y^2+z^2}+\frac{\left(2m\right)^2}{2\left(xy+yz+zx\right)}\)

\(\ge\frac{\left(1+2m\right)^2}{x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+zx\right)}=\frac{\left(1+2m\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2}=\frac{\left(1+2m\right)^2}{k^2}\)

Vậy, vấn đề ở đây không phải là lời giải, mà là dấu đẳng thức.

Quan sát một chút ta thấy x, y, z là đối xứng nhau và điều kiện là \(x+y+z=1\).

Nên ta đoán \(\hept{\begin{cases}x=y=t\\x+y+z=k\end{cases}}\Rightarrow z=k-2t\left(0\le t\le\frac{k}{2}\right)\)   (*)

Ta xét: \(P\left(x,y,z\right)=\frac{1}{x^2+y^2+z^2}+\frac{2m^2}{xy+yz+zx}\)

Chọn t sao cho \(P\left(t,t,k-2t\right)=\frac{\left(1+2m\right)^2}{k^2}\) 

Quy đồng lên và phân tích thành nhân tử, nó tương đương với: \(k^2m-4kmt+6mt^2-2kt+3t^2=0\)

Dùng công thức nghiệm của phương trình bậc 2, dễ có: \(t_1=\frac{k\left(1+2m+\sqrt{-2m^2+m+1}\right)}{3\left(1+2m\right)},t_2=\frac{k\left(-1-2m+\sqrt{-2m^2+m+1}\right)}{3\left(1+2m\right)}\)

Cần chú ý rằng, tùy vào tham số k, m ở từng bài mà \(-2m^2+m+1,t_1,t_2\) có thể âm hoặc dương nên sau đó ta cần..(Không biết nói  sao cho hay hết! Các bạn tự hiểu nha :D)

Với \(m=\frac{1}{\sqrt{2}}\)ta được bài https://olm.vn/hoi-dap/detail/259605114604.html

Lưu ý. Không phải lúc nào ta cũng may mắn có được như (*), có khi các biến hoàn toàn đối xứng nhưng đẳng thức lại xảy ra hoàn toàn lệch nhau! Chính vì vậy, bài trên dù dấu đẳng thức xấu nhưng ta vẫn "còn may".

Nếu không việc tìm dấu đẳng thức còn mệt hơn nhiều :D

0