Tính \(\frac{a}{b\left(a+b\right)}+\frac{a}{\left(a+b\right)\left(2a+b\right)}+\frac{a}{\left(2a+b\right)\left(3a+b\right)}+...\) với mọi a và b là số tự nhiên dương
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
\(\frac{2b+c-a}{a}=\frac{2c-b+a}{b}=\frac{2a+b-c}{c}=\frac{2b+c-a+2c-b+a+2a+b-c}{a+b+c}=\)
\(=\frac{2a+2b+2c}{a+b+c}=2\)
+ Từ \(\frac{2b+c-a}{a}=2\Rightarrow2b+c-a=2a\Rightarrow3a-2b=c\) và \(3a-c=2b\)
+ Tương tự ta cũng có \(3b-2c=a\) và \(3b-a=2c\)
Và \(3c-2a=b\); \(3c-b=2a\)
Thay vào P
\(P=\frac{c.a.b}{2.b.2.c.2.a}=\frac{1}{8}\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có :
\(\frac{2b+c-a}{a}=\frac{2c-b+a}{b}=\frac{2a+b-c}{c}=\frac{2a+2b+2c}{a+b+c}=\frac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2\)
Do đó :
\(\frac{2b+c-a}{a}=2\)\(\Rightarrow\)\(c=3a-2b\)\(;\)\(2b=3a-c\)\(\left(1\right)\)
\(\frac{2c-b+a}{b}=2\)\(\Rightarrow\)\(a=3b-2c\)\(;\)\(2c=3b-a\)\(\left(2\right)\)
\(\frac{2a+b-c}{c}=2\)\(\Rightarrow\)\(b=3c-2a\)\(;\)\(2a=3c-b\)\(\left(3\right)\)
Thay (1), (2) và (3) vào \(P=\frac{\left(3a-2b\right)\left(3b-2c\right)\left(3c-2a\right)}{\left(3a-c\right)\left(3b-a\right)\left(3c-b\right)}\) ta được :
\(P=\frac{c.a.b}{2b.2c.2a}=\frac{abc}{8abc}=\frac{1}{8}\)
Vậy \(P=\frac{1}{8}\)
Chúc bạn học tốt ~
Phùng Minh Quân sai nha nếu a+b+c = 0 thì a+b+c / 2(a+b+c) thì nó không bằng 1/2 đc mà nó bằng 0
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có :
\(\frac{2b+c-a}{a}=\frac{2c-b+a}{b}=\frac{2a+b-c}{c}=\frac{2b+c-a+2c-b+a+2a+b-c}{a+b+c}=\frac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2\)
Do đó :
\(\frac{2b+c-a}{a}=2\)\(\Rightarrow\)\(2b=2a+a-c=3a-c\)\(\left(1\right)\)
\(\frac{2c-b+a}{b}=2\)\(\Rightarrow\)\(2c=2b-a+b=3b-a\)\(\left(2\right)\)
\(\frac{2a+b-c}{c}=2\)\(\Rightarrow\)\(2a=2c+c-b=3c-b\)\(\left(3\right)\)
Thay (1), (2) và (3) vào P ta được :
\(P=\frac{\left(3a-2b\right)\left(3b-2c\right)\left(3c-2a\right)}{\left(3a-c\right)\left(3b-a\right)\left(3c-b\right)}\)
\(P=\frac{\left(3a-3a+c\right)\left(3b-3b+a\right)\left(3c-3c+b\right)}{2b.2c.2a}\)
\(P=\frac{abc}{8abc}=\frac{1}{8}\)
Vậy \(P=\frac{1}{8}\)
Chúc bạn học tốt ~
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có : \(\frac{2b+c-a}{a}=\frac{2c-b+a}{b}=\frac{2a+b-c}{c}=\frac{\left(2b+c-a\right)+\left(2c-b+a\right)+\left(2a+b-c\right)}{a+b+c}\)\(=\frac{2a+2c+2a}{a+b+c}=2\)
vậy : \(\frac{2b+c-a}{a}=2\Rightarrow2b+c-a=2a\Rightarrow2b+c-3a=0\Rightarrow3a-2c=c\Rightarrow3a-c=2b\)
\(\frac{2c-b+a}{b}=2\Rightarrow2c-b+a=2b\Rightarrow2c+a-3b=0\Rightarrow3b-2c=a\Rightarrow3b-a=2c\)
\(\frac{2a+b-c}{c}=2\Rightarrow2a+b-c=2c\Rightarrow2a+b-3c=0\Rightarrow3c-2a=b\Rightarrow3c-b=2a\)
Vậy \(P=\frac{\left(3a-2b\right)\left(3b-2c\right)\left(3c-2a\right)}{\left(3a-c\right)\left(3b-a\right)\left(3c-b\right)}=\frac{c.a.b}{2b.2c.2a}=\frac{1}{8}\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Câu hỏi của Hà My Trần - Toán lớp 7 - Học toán với OnlineMath
Bạn tham khảo câu hỏi ở link này.