Cho a,b,c>0 và ab+bc+ca=2011abc
Tìm GTNN của \(Q=\frac{1}{a\left(2011a-1\right)^2}+\frac{1}{b\left(2011b-1\right)^2}+\frac{1}{c\left(2011c-1\right)^2}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
16 tháng 7 2020
\(ab+bc+ca=2011abc\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=2011\)
Đặt \(\left(\frac{1}{a};\frac{1}{b};\frac{1}{c}\right)\rightarrow\left(x;y;z\right)\Rightarrow x+y+z=2011\)
Khi đó:
\(Q=\frac{x^3}{\left(y+z\right)^2}+\frac{y^3}{\left(z+x\right)^2}+\frac{z^3}{\left(x+y\right)^2}\)
Sử dụng AM - GM:
\(\frac{x^3}{\left(y+z\right)^2}+\frac{y+z}{8}+\frac{y+z}{8}\ge3\sqrt[3]{\frac{x^3}{\left(y+z\right)^2}\cdot\frac{\left(y+z\right)^2}{8^2}}=\frac{3x}{4}\)
Tương tự cộng lại sử dụng giả thiết ta có đpcm
VT
27 tháng 12 2017
ta có A=\(\frac{a}{bc}+\frac{b}{ac}+\frac{c}{ab}+\frac{a^2}{2}+\frac{b^2}{2}+\frac{c^2}{2}=\frac{a^2+b^2+c^2}{abc}+\frac{a^2}{2}+\frac{b^2}{2}+\frac{c^2}{2}\)
mà \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\Rightarrow\frac{a^2+b^2+c^2}{abc}\ge\frac{ab+bc+ca}{abc}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)
\(\Rightarrow A\ge\frac{a^2}{2}+\frac{b^2}{2}+\frac{c^2}{2}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{a^2}{2}+\frac{1}{2a}+\frac{1}{2a}+...\)
Áp dụng bđt co si ta có , \(\frac{a^2}{2}+\frac{1}{2a}+\frac{1}{2a}\ge\frac{1}{\sqrt{2}}\)
tương tự mấy cái kia rồi + vào thì A>=...
T
27 tháng 5 2020
Bài 2:b) \(9=\left(\frac{1}{a^3}+1+1\right)+\left(\frac{1}{b^3}+1+1\right)+\left(\frac{1}{c^3}+1+1\right)\)
\(\ge3\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\therefore\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\le3\)
Ta sẽ chứng minh \(P\le\frac{1}{48}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2\)
Ai có cách hay?
T
27 tháng 5 2020
1/Đặt a=1/x,b=1/y,c=1/z ->x+y+z=1.
2a) \(VT=\frac{\left(\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}\ge\frac{\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\right)^2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}\)
\(=\frac{\left[\frac{\left(a^2+b^2\right)^2}{a^4b^4}\right]}{\frac{a+b}{ab}}=\frac{\left(a^2+b^2\right)^2}{a^3b^3\left(a+b\right)}\ge\frac{\left(a+b\right)^3}{4\left(ab\right)^3}\)
\(\ge\frac{\left(a+b\right)^3}{4\left[\frac{\left(a+b\right)^2}{4}\right]^3}=\frac{16}{\left(a+b\right)^3}\)
Ta có: \(\left(x-y\right)^2\ge0\Leftrightarrow x^2+y^2\ge2xy\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2\ge4xy\)
\(\Rightarrow4.2011a\left(2011a-2\right)\le\left(2011a+2011a-2\right)^2=4\left(2011a-1\right)^2\)
\(\Leftrightarrow2011a\left(2011a-2\right)\le\left(2011a-1\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\frac{2011a\left(2011a-2\right)}{\left(2011a-1\right)^2}\le1\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{a}-\frac{2011a\left(2011a-2\right)}{\left(2011a-1\right)^2}\ge\frac{1}{a}-1\)\(\Leftrightarrow\frac{1}{a\left(2011a-1\right)^2}\ge\frac{1}{a}-1\)
Tương tự: \(\frac{1}{b\left(2011b-1\right)^2}\ge\frac{1}{b}-1;\frac{1}{c\left(2011c-1\right)^2}\ge\frac{1}{c}-1\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{a\left(2011a-1\right)^2}+\frac{1}{b\left(2011b-1\right)^2}+\frac{1}{c\left(2011c-1\right)^2}\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}-3=2011-3=2008\)
Sai thì thôi nhá bẹn!