Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N theo thứ tự thuộc cách cạnh AD, BC sao cho \(\frac{AM}{AD}=\frac{CN}{CB}\)
CMR : khi M, N thay đổi thì trung điểm I của MN luôn nằm trên một đường thẳng cố định
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Gọi I là giao điểm của MN và AC.
Ta có: \(\widehat{IHO}=\widehat{OEI}=90°\)
\(\Rightarrow\)Tứ giác EIHO nội tiếp đường tròn.
\(\Rightarrow\)Tâm của đường tròn ngoại tiếp ∆OHE nằm trên đường trung trực của EI.(*)
Ta có ∆AIH \(\approx\)∆AOE
\(\Rightarrow\)AH.AO = AE.AI (1)
Ta có: ∆AMB \(\approx\)AOM
\(\Rightarrow\)AM2 = AH.AO (2)
Ta lại có: ∆ABM \(\approx\)∆AMC
\(\Rightarrow\)AM2 = AB.AC (3)
Từ (1), (2), (3) \(\Rightarrow\)AE.AI = AB.AC
Vì A,B,C,E cố định nên I cố định (**)
Từ (*), (**) suy ta tâm đường tròn ngoại tiếp ∆OHE nằm trên đường trung trực của EI.
PS: không chứng minh được nó nằm trên đường tròn nha b. Hình tự vẽ.
Gọi E, F lần lượt là trung điểm AC và BD
Đặt \(\frac{AM}{AD}=\frac{CN}{CB}=k\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{AM}=k.\overrightarrow{AD}\\\overrightarrow{CN}=k.\overrightarrow{CB}\end{matrix}\right.\) với k là hằng số
\(\overrightarrow{EI}=\overrightarrow{EC}+\overrightarrow{CN}+\overrightarrow{NF}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CN}+\frac{1}{2}\overrightarrow{NM}\)
\(=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}\right)+\overrightarrow{CN}+\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{NC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DM}\right)\)
\(=\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}+\frac{1}{2}\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CN}+\frac{1}{2}\overrightarrow{NC}+\frac{1}{2}\overrightarrow{CD}+\frac{1}{2}\overrightarrow{DM}\)
\(=\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}+\frac{1}{2}\overrightarrow{CN}+\frac{1}{2}\overrightarrow{DM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AM}+\frac{1}{2}\overrightarrow{CN}=\frac{k}{2}\left(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB}\right)\)
\(\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{EC}+\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BF}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BD}\)
\(=\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}+\frac{1}{2}\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}+\frac{1}{2}\overrightarrow{CD}\)
\(=\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}+\frac{1}{2}\overrightarrow{CB}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB}\right)\)
\(\Rightarrow\overrightarrow{EF}=k.\overrightarrow{EI}\Rightarrow E;F;I\) thẳng hàng hay I luôn thuộc đường thẳng EF cố định