Question

[Kimian Hajan Ruventaren]

Xét sự biến thiên của hàm số \(f\left(x\right)=x+\frac{1}{x}\) trên khoang \(\left(1;+\infty\right)\). Khẳng định nào sau đây đúng

a) Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left(1;+\infty\right)\)

b) Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left(1;+\infty\right)\)

c) Hs vừa đồng biến vừa nghịch biến trên khoảng ( tương tự)

d) Hàm số ko đồng biến và nghịch biến

Answer 1

[Nguyễn Việt Lâm]

Xét hai số thực \(a;b\) bất kì thỏa mãn \(a>b>1\)

\(f\left(a\right)-f\left(b\right)=a+\frac{1}{a}-\left(b+\frac{1}{b}\right)=a-b+\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\)

\(=a-b-\frac{a-b}{ab}=\left(a-b\right)\left(1-\frac{1}{ab}\right)\)

Do \(a>b>1\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a-b>0\\ab>1\Rightarrow\frac{1}{ab}< 1\Rightarrow1-\frac{1}{ab}>0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow f\left(a\right)-f\left(b\right)>0\Rightarrow f\left(a\right)>f\left(b\right)\)

Vậy hàm đồng biến trên \(\left(1;+\infty\right)\)