Cho a+b+c=0.Chung minh rang
a4+b4+c4 = 2.(a2b2+b2c2+c2a2) = 2.(ab+bc+ca)2 = \(\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{2}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
23 tháng 8 2021
1: Ta có: \(a^2+b^2+c^2\)
\(=\left(a+b+c\right)^2-2\cdot\left(ab+bc+ca\right)\)
\(=5^2-2\cdot174=-323\)
NT
1
10 tháng 7 2017
( ab + bc + ca )^2 = a^2b^2 + b^2c^2 +c^2a^2 + 2abc( a + b + c )
=a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2 + 2abc.0 ( vì a + b + c = 0)
=a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2
KB
16 tháng 5 2019
1 ) (a+b+c)^2 >= 3(ab+bc+ac)
<=> a^2 + b^2 + c^2 >= ab + bc + ac
<=> 2a^2 + 2b^2 + 2c^2 >= 2ab + 2bc + 2ac
<=> a^2 - 2ab + b^2 + b^2 - 2bc + c^2 + a^2 - 2ac + c^2 >= 0
<=> (a - b)^2 + (b-c)^2 + (a-c)^2 >= 0
( luôn đúng với mọi a ; b ; c )
( đpcm )
2 ) P = \(\frac{\left(a+b+c\right)^2}{ab+bc+ac}+\frac{ab+bc+ac}{\left(a+b+c\right)^2}=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{9\left(ab+bc+ac\right)}+\frac{ab+bc+ac}{\left(a+b+c\right)^2}+\frac{8\left(a+b+c\right)^2}{9\left(ab+bc+ac\right)}\)
AD BĐT Cô - si và BĐT phụ đã cmt ở trên ta có : \(P\ge2.\frac{1}{3}+\frac{8.3.\left(ab+bc+ac\right)}{9\left(ab+bc+ac\right)}=\frac{2}{3}+\frac{8}{3}=\frac{10}{3}\)
Dấu " = " xảy ra <=> a = b = c
16 tháng 5 2019
Khôi Bùi : theo e ý 2 có thể đơn giản hóa vấn đề bằng cách đặt ẩn phụ
đặt \(\frac{\left(a+b+c\right)^2}{ab+bc+ca}=t\left(t\ge3\right)\)
\(\Rightarrow P=t+\frac{1}{t}=\frac{t}{9}+\frac{1}{t}+\frac{8}{9}t\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(P\ge2.\sqrt{\frac{t}{9}.\frac{1}{t}}+\frac{8}{9}t\ge\frac{2.1}{3}+\frac{8}{9}.3=\frac{10}{3}\)
Dấu " = " xảy ra <=> a=b
Bài làm :
Bình phương hai vế của a + b + c = 0 ta được :
\(a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)=0\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2=-2\left(ab+bc+ca\right)\) ( 1 )
Bình phương hai vế của ( 1 ) ta được :
\(a^4+b^4+c^4+2\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)\)
\(=4\left[a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2abc\left(a+b+c\right)\right]\)
\(=4\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)\) ( vì a + b + c = 0 nên 2abc . 0 = 0 )
=> đpcm
Phần còn lại tương tự bạn tự làm nhé
Học tốt
Ta có :
\(a+b+c=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)=0\)( 1 )
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2=-2\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4+2\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)=4\left[a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2abc\left(a+b+c\right)\right]\)
\(\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4+2\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)=4\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)\)( 2 )
\(\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4=2\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)\)( 3 )
Ta lại có :
\(\left(ab+bc+ca\right)^2\)
\(=a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2abc\left(a+b+c\right)\)
\(=a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2abc.0\)
\(=a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\)( 4 )
Thay ( 4 ) vào ( 2 ) ta được :
\(a^4+b^4+c^4+2\left(ab+bc+ca\right)^2=4\left(ab+bc+ca\right)^2\)
\(\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4=2\left(ab+bc+ca\right)^2\)( 5 )
Từ ( 1 ) => \(ab+bc+ca=\frac{-a^2-b^2-c^2}{2}\)
\(\Rightarrow2\left(ab+bc+ca\right)^2=\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{2}\)( 6 )
Từ ( 3 ) ; ( 5 ) và ( 6 ) => Đpcm