Question

[Lil Học Giỏi]

Cho △ ABC cân tại A . AB = AC = a . Lấy M ∈ AB , N ∈ AC | AM = CN .

a) Chứng minh : \(\frac{S_{AMN}}{S_{ABC}}=\frac{AM.AN}{AB.AC}\)

b) Tìm vị trí M , N để S_{AMN max ?}

Answer 1

[Akai Haruma]

Hình vẽ:

Answer 2

[Akai Haruma]

Lời giải:

a) Ta có:

$\frac{S_{AMN}}{S_{AMC}}=\frac{AN}{AC}$

$\frac{S_{AMC}}{S_{ABC}}=\frac{AM}{AB}$

Nhân theo vế thu được:

$\frac{S_{AMN}}{S_{ABC}}=\frac{AN.AM}{AC.AB}$

b) 

Vì $AB=AC, AM=CN\Rightarrow AB-AM=AC-CN$ hay $BM=AN$

Do đó:

$\frac{S_{AMN}}{S_{ABC}}=\frac{AM.BM}{AB.AC}=\frac{AM.BM}{AB^2}$

Áp dụng BĐT AM-GM:
$AM.BM\leq \left(\frac{AM+BM}{2}\right)^2=\frac{AB^2}{4}$

$\Rightarrow \frac{S_{AMN}}{S_{ABC}}\leq \frac{AB^2}{4.AB^2}=\frac{1}{4}$

$\Rightarrow S_{AMN}\leq \frac{S_{ABC}}{4}$

Vậy $S_{AMN}$ max bằng $\frac{S_{ABC}}{4}$ khi $AM=BM$ hay $M$ là trung điểm của $AB$, kéo theo $N$ là trung điểm $AC$

Vậy......