Cho x y z > 0 và \(x^4+y^4+z^4\)=48. Tìm Max \(P=xy^2+yz^2+zx^2\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
7 tháng 4 2022
Không mất tính tổng quát, giả sử \(x=mid\left\{x;y;z\right\}\)
\(\Rightarrow\left(x-y\right)\left(x-z\right)\le0\)
\(\Rightarrow x^2+yz\le xy+xz\)
\(\Rightarrow zx^2+yz^2\le xyz+xz^2\)
\(\Rightarrow P\le x^3+y^3+z^3+8\left(xy^2+xz^2+xyz\right)\)
\(\Rightarrow P\le x^3+y^3+z^3+3yz\left(y+z\right)+8\left(xy^2+xz^2+2xyz\right)\)
\(\Rightarrow P\le x^3+\left(y+z\right)^3+8x\left(y+z\right)^2\)
\(\Rightarrow P\le x^3+\left(4-x\right)^3+8x\left(4-x\right)^2\)
\(\Rightarrow P\le8x^3-52x^2+80x+64\)
Tới đây, đơn giản nhất là khảo sát hàm \(f\left(x\right)=8x^3-52x^2+80x+64\) trên \(\left[0;4\right]\)
(Nếu ko khảo sát hàm, ta có thể tách như sau, tất nhiên là dựa trên điểm rơi có được từ việc khảo sát hàm):
\(\Rightarrow P\le\left(8x^3-52x^2+80x-36\right)+100\)
\(\Rightarrow P\le4\left(x-1\right)^2\left(2x-9\right)+100\)
Do \(0\le x\le4\Rightarrow2x-9< 0\Rightarrow P\le100\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left(x;y;z\right)=\left(1;3;0\right)\) và 1 vài bộ hoán vị của chúng
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
14 tháng 3 2022
\(\dfrac{xy^2}{y^2+2}=\dfrac{xy^2}{\dfrac{y^2}{2}+\dfrac{y^2}{2}+2}\le\dfrac{xy^2}{3\sqrt[3]{\dfrac{y^4}{2}}}=\dfrac{1}{3}x\sqrt[3]{2y^2}\le\dfrac{1}{9}x\left(2+y+y\right)=\dfrac{2}{9}\left(x+xy\right)\)
Tương tự: \(\dfrac{yz^2}{z^2+2}\le\dfrac{2}{9}\left(y+yz\right)\) ; \(\dfrac{zx^2}{x^2+2}\le\dfrac{2}{9}\left(z+zx\right)\)
Cộng vế:
\(P\le\dfrac{2}{9}\left(x+y+z+xy+yz+zx\right)\le\dfrac{2}{9}\left(x+y+z+\dfrac{1}{3}\left(x+y+z\right)^2\right)=4\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=2\)
ND
0
HN
1
SG
24 tháng 4 2023
\(P=\Sigma\dfrac{x}{x+yz}=\Sigma\dfrac{x}{x(x+y+z)+yz}=\Sigma\dfrac{x}{x^2+xy+xz+yz} \\=\Sigma\dfrac{x}{(x+y)(x+z)}=\dfrac{2(xy+yz+zx)}{(x+y)(y+z)(z+x)}\)
Bất đẳng thức phụ: \(\Pi(x+y)\ge\dfrac{8}{9}(\Sigma x)(\Sigma xy)\)
\(\Leftrightarrow \Sigma(x^2y+x^2z-2xyz)\ge0\) ( đúng do AM-GM )
Dấu ''='' xảy ra khi và chỉ khi: \(x=y=z\)
Áp dụng vào bài toán chính:
\(P\le\dfrac{2(xy+yz+zx)}{\dfrac{8}{9}(\Sigma x)(\Sigma xy)}=\dfrac{9}{4}\)
Dấu ''='' xảy ra khi và chỉ khi: \(x=y=z=\dfrac{1}{3}\)
Vậy \(\max P =\dfrac{9}{4} \) khi \(x=y=z=\dfrac{1}{3}\)
2 tháng 7 2017
1, A= y^3(1-y)^2 = 4/9 . y^3 . 9/4 (1-y)^2
= 4/9 .y.y.y . (3/2-3/2.y)^2
=4/9 .y.y.y (3/2-3/2.y)(3/2-3/2.y)
<= 4/9 (y+y+y+3/2-3/2.y+3/2-3/2.y)^5
=4/9 . 243/3125
=108/3125
Đến đó tự giải
22 tháng 6 2019
Ta chứng minh \(\frac{x^4+y^4}{x^2+y^2}\ge\frac{\frac{\left(x^2+y^2\right)^2}{2}}{x^2+y^2}=\frac{x^2+y^2}{2}\)
Tương tự và cộng lại
\(\Rightarrow VT\ge x^2+y^2+z^2\ge xy+xz+yz=3\)
Ta có:
\(x^4+y^4+y^4+16\ge4\sqrt[4]{16x^4y^8}=8xy^2\)
Tương tự:
\(y^4+z^4+z^4+16\ge8yz^2\)
\(z^4+x^4+x^4+16\ge8zx^2\)
Cộng vế với vế ta được: \(3\left(x^4+y^4+z^4\right)+48\ge8xy^2+8yz^2+8zx^2\)
\(\Leftrightarrow24\ge xy^2+yz^2+xz^2\)
Dấu = xảy ra khi x = y = z = 2