Cho x y > 0 và x+y=1. Tìm Min \(P=\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}+\frac{y}{\sqrt{1-y^2}}\)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
\(P=\frac{\sqrt{1+x^2+y^2}}{xy}+\frac{\sqrt{1+y^2+z^2}}{yz}+\frac{\sqrt{1+z^2+x^2}}{zx}\)
\(\ge\text{Σ}\frac{\sqrt{\frac{\left(1+x+y\right)^2}{3}}}{xy}\text{=}\frac{1+x+y}{xy\sqrt{3}}\)
\(=\frac{\sqrt{3}}{3}\left(\frac{1+x+y}{xy}+\frac{1+y+z}{yz}+\frac{1+z+x}{zx}\right)\)
\(=\frac{\sqrt{3}}{3}\left(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{z}+\frac{1}{x}\right)\)
\(=\frac{\sqrt{3}}{3}\left(x+y+z+2xy+2yz+2zx\right)\)\(\ge\frac{\sqrt{3}}{3}\left(3\sqrt[3]{xyz}+2\cdot3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}\right)=\frac{\sqrt{3}}{3}\left(3+6\right)=3\sqrt{3}\)
Dấu = xảy ra khi \(x=y=z=1\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Mình gợi ý để bạn được người khác giúp nhé. Khi đăng bài bạn nên đăng từng câu. Đừng đăng nhiều câu cùng lúc vì nhìn vô không ai muốn giải hết. Giờ bạn tách ra từng câu đăng lại đi. Sẽ có người giúp đấy
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
2. Xem tại đây
1. \(P=\frac{1}{\sqrt{x.1}}+\frac{1}{\sqrt{y.1}}+\frac{1}{\sqrt{z.1}}\)
\(\ge\frac{1}{\frac{x+1}{2}}+\frac{1}{\frac{y+1}{2}}+\frac{1}{\frac{z+1}{2}}\)
\(=\frac{2}{x+1}+\frac{2}{y+1}+\frac{2}{z+1}\ge\frac{2.\left(1+1+1\right)^2}{x+y+z+3}=\frac{18}{3+3}=3\)
Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z=1\)
1 ) có cách theo cosi đó
áp dụng cosi cho 3 số dương ta có \(\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{x}}+x\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{\sqrt{x}}\times\frac{1}{\sqrt{x}}\times x}=3\sqrt[3]{1}=3\)(1)
\(\frac{1}{\sqrt{y}}+\frac{1}{\sqrt{y}}+y\ge3\)(2)
\(\frac{1}{\sqrt{z}}+\frac{1}{\sqrt{z}}+z\ge3\)(3)
cộng các vế của (1),(2),(3), đc \(2\left(\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}+\frac{1}{\sqrt{z}}\right)+\left(x+y+z\right)\ge9\Rightarrow2P+3\ge9\Rightarrow P\ge3\)
minP=3 khi x=y=z=1
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Ta có \(\frac{y}{x\sqrt{y^2+1}}=\frac{y\sqrt{xz}}{x\sqrt{y\left(x+y+z\right)+xz}}=\frac{yz}{\sqrt{x\left(y+z\right).z\left(x+y\right)}}\ge\frac{2yz}{2xz+xy+yz}\)
Đặt \(a=xy,b=yz,c=xz\)=> \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1\)
Khi đó
\(P\ge\frac{2b}{2c+a+b}+\frac{2c}{2a+b+c}+\frac{2a}{2b+a+c}\ge\frac{2\left(a+b+c\right)^2}{b^2+c^2+a^2+3\left(ab+bc+ac\right)}\)
Xét \(P\ge\frac{3}{2}\)
=> \(4\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(a^2+b^2+c^2\right)+9\left(ab+bc+ac\right)\)
<=> \(a^2+b^2+c^2\ge\left(ab+bc+ac\right)\)(luôn đúng )
Vậy \(MinP=\frac{3}{2}\)khi a=b=c=3=> \(x=y=z=\sqrt{3}\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Ta có \(\frac{\sqrt{x^2+2y^2}}{xy}=\sqrt{\frac{1}{y^2}+\frac{2}{x^2}}\)
Áp dụng BĐT Buniacoxki ta có
\(\sqrt{\left(\frac{1}{y^2}+\frac{2}{x^2}\right)\left(1+2\right)}\ge\sqrt{\left(\frac{1}{y}+\frac{2}{x}\right)^2}=\frac{1}{y}+\frac{2}{x}\)
=> \(\sqrt{3}A\ge3\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)=3\)
=> \(A\ge\sqrt{3}\)
\(MinA=\sqrt{3}\)khi x=y=z=3
+) \(P=\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}+\frac{y}{\sqrt{1-y^2}}=\frac{x^2}{x\sqrt{1-x^2}}+\frac{y^2}{y\sqrt{1-y^2}}\)
\(\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{x\sqrt{1-x^2}+y\sqrt{1-y^2}}=\frac{1}{x\sqrt{1-x^2}+y\sqrt{1-y^2}}\)
+) \(A=x\sqrt{1-x^2}+y\sqrt{1-y^2}\)
\(A^2=x^2+y^2-y^4-x^4+2xy\sqrt{\left(1-x^2\right)\left(1-y^2\right)}\)
+) \(B=x^2+y^2-x^4-y^4=x^2+\left(1-x\right)^2-x^4-\left(1-x\right)^4\)
\(-\frac{B}{2}+\frac{3}{16}=x^4-2x^3+2x^2-x+\frac{3}{16}=\left(x^2-x+\frac{3}{4}\right)\left(x-\frac{1}{2}\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow B\le\frac{3}{8}\)
+) \(A^2\le\frac{3}{8}+2\frac{\left(x+y\right)^2}{4}\sqrt{1-x^2-y^2+x^2y^2}\)
\(\le\frac{3}{8}+\frac{1}{2}\sqrt{1-\frac{\left(x+y\right)^2}{2}+\frac{\left(x+y\right)^4}{16}}=\frac{3}{8}+\frac{1}{2}\sqrt{1-\frac{1}{2}+\frac{1}{16}}=\frac{3}{8}+\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{4}=\frac{3}{4}\)
\(\Rightarrow A\le\frac{\sqrt{3}}{2}\)
+) \(P=\frac{1}{A}\ge\frac{2\sqrt{3}}{3}\)
Vậy \(P_{min}=\frac{2\sqrt{3}}{3}\)khi \(x=y=\frac{1}{2}\)
* Mình làm hơi tắt và có vẻ hơi dài
Từ điều kiện đề bài ta có: \(P=\frac{x}{\sqrt{y^2+2xy}}+\frac{y}{\sqrt{x^2+2xy}}\)
Theo Holder: \(P.P.\left[x\left(y^2+2xy\right)+y\left(x^2+2xy\right)\right]\ge\left(x+y\right)^3\)
\(\Rightarrow P^2\ge\frac{\left(x+y\right)^3}{x\left(y^2+2xy\right)+y\left(x^2+2xy\right)}\) (*)
Xét: \(\frac{\left(x+y\right)^3}{x\left(y^2+2xy\right)+y\left(x^2+2xy\right)}-\frac{4}{3}=\frac{\left(x+y\right)\left(x-y\right)^2}{x\left(y^2+2xy\right)+y\left(x^2+2xy\right)}\ge0\) (**)
Từ (*) và (**) suy ra: \(P\ge\frac{2}{\sqrt{3}}\)
Dấu "=" xảy ra khi x=y=1\2