Cho a,b,c,x,y,z là các số thực dương.
Chứng minh \(\left(abc+xyz\right)^3\)\(\le\left(a^3+x^3\right)\left(b^3+y^3\right)\left(c^3+z^3\right)\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
ML
13 tháng 5 2016
\(\Leftrightarrow abc+xyz+3\sqrt[3]{\left(abc\right)^2.xyz}+3\sqrt[3]{abc.\left(xyz\right)^2}\le abc+xyz+abz+bcx+cay+cxy+ayz+bzx\)
\(\Leftrightarrow3\sqrt[3]{\left(abc\right)^2.xyz}+3\sqrt[3]{abc.\left(xyz\right)^2}\le\left(abz+bcx+cay\right)+\left(cxy+ayz+bzx\right)\)
Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có ngay đpcm.
23 tháng 1 2019
1) Áp dụng BĐT bun-hi-a-cốp-xki ta có:
\(\left(a+d\right)\left(b+c\right)\ge\left(\sqrt{ab}+\sqrt{cd}\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(a+d\right)\left(b+c\right)}\ge\sqrt{ab}+\sqrt{cd}\)( vì a,b,c,d dương )
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\)
TN
11 tháng 7 2017
\(BDT\Leftrightarrow\sqrt[3]{\frac{abc}{\left(a+x\right)\left(b+y\right)\left(c+z\right)}}+\sqrt[3]{\frac{xyz}{\left(a+x\right)\left(b+y\right)\left(c+z\right)}}\le1\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\sqrt[3]{\frac{abc}{(a+x)(b+y)(c+z)}}\le\frac{\frac{a}{a+x}+\frac{b}{b+y}+\frac{c}{c+z}}{3}\)
\(\sqrt[3]{\frac{xyz}{(a+x)(b+y)(c+z)}}\le\frac{\frac{x}{a+x}+\frac{y}{b+y}+\frac{z}{c+z}}{3}\)
\(\Rightarrow VT\le\frac{\frac{x+a}{x+a}+\frac{b+y}{b+y}+\frac{c+z}{c+z}}{3}=1\)
Xảy ra khi a=b=c và x=y=z
LV
11 tháng 7 2017
Áp dụng BĐT AM-Gm:
\(\frac{a}{a+x}+\frac{b}{b+y}+\frac{c}{c+z}\ge3\sqrt[3]{\frac{abc}{\left(a+x\right)\left(b+y\right)\left(c+z\right)}}\)
\(\frac{x}{a+x}+\frac{y}{b+y}+\frac{z}{c+z}\ge3\sqrt[3]{\frac{xyz}{\left(a+x\right)\left(b+y\right)\left(c+z\right)}}\)
Cộng 2 BĐT trên theo vế:
\(3\ge3.\frac{\sqrt[3]{abc}+\sqrt[3]{xyz}}{\sqrt[3]{\left(a+x\right)\left(b+y\right)\left(c+z\right)}}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt[3]{\left(a+x\right)\left(b+y\right)\left(c+z\right)}\ge\sqrt[3]{abc}+\sqrt[3]{xyz}\)(đpcm)
Dấu = xảy ra khi \(\frac{a}{x}=\frac{b}{y}=\frac{c}{z}\)
27 tháng 6 2018
\(\sqrt[3]{abc}+\sqrt[3]{xyz}\le\sqrt[3]{\left(a+x\right)\left(b+y\right)\left(c+z\right)}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt[3]{\dfrac{abc}{\left(a+x\right)\left(b+y\right)\left(c+z\right)}}+\sqrt[3]{\dfrac{xyz}{\left(a+x\right)\left(b+y\right)\left(c+z\right)}}\le1\)
Áp dụng BĐT Cô-si cho 3 số dương, ta có:
\(\Leftrightarrow\sqrt[3]{\dfrac{abc}{\left(a+x\right)\left(b+y\right)\left(c+z\right)}}+\sqrt[3]{\dfrac{xyz}{\left(a+x\right)\left(b+y\right)\left(c+z\right)}}\le\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{a}{a+x}+\dfrac{b}{b+y}+\dfrac{c}{c+z}+\dfrac{x}{a+x}+\dfrac{y}{b+y}+\dfrac{z}{c+z}\right)=1\)
\(\sqrt[3]{abc}\le\dfrac{a+b+c}{3}\)
\(\sqrt[3]{xyz}\le\dfrac{x+y+z}{3}\)
\(\Rightarrow\sqrt[3]{abc}+\sqrt[3]{xyz}\le\dfrac{\left(a+x\right)+\left(b+y\right)+\left(c+z\right)}{3}\)
Áp dụng BĐT Cô-si cho 3 số dương (a+x); (b+y); (c+z) , ta có:
\(\sqrt[3]{\left(a+x\right)\left(b+y\right)\left(c+z\right)}\le\dfrac{\left(a+x\right)}{ }\)
27 tháng 1 2022
\(\dfrac{x^3}{\left(1+y\right)\left(1+z\right)}+\dfrac{1+y}{8}+\dfrac{1+z}{8}\ge3\sqrt[3]{\dfrac{x^3\left(1+y\right)\left(1+z\right)}{\left(1+y\right)\left(1+z\right).64}}=\dfrac{3x}{4}\)
\(\dfrac{y^3}{\left(1+z\right)\left(1+x\right)}+\dfrac{1+z}{8}+\dfrac{1+x}{8}\ge\dfrac{3y}{4}\)
\(\dfrac{z^3}{\left(1+x\right)\left(1+y\right)}+\dfrac{1+x}{8}+\dfrac{1+y}{8}\ge\dfrac{3z}{4}\)
\(\Rightarrow\dfrac{x^3}{\left(1+y\right)\left(1+z\right)}+\dfrac{y^3}{\left(1+z\right)\left(1+x\right)}+\dfrac{z^3}{\left(1+x\right)\left(1+y\right)}\ge\dfrac{x+y+z}{2}-\dfrac{3}{4}\ge\dfrac{3\sqrt[3]{xyz}}{2}-\dfrac{3}{4}=\dfrac{3}{2}-\dfrac{3}{4}=\dfrac{3}{4}\left(đpcm\right)\)
(bài này chắc thiếu đk xyz=1 ?nên mình bổ sung xyz=1)
OP
27 tháng 1 2022
( xyz=3)
Áp dụng BDDT AM-GM:
Ta có: \(\dfrac{x^3}{\left(1+y\right)\left(1+z\right)}+\dfrac{1+y}{8}+\dfrac{1+z}{8}\ge3\sqrt[3]{\dfrac{x^3\left(1+y\right)\left(1+z\right)}{\left(1+y\right)\left(1+z\right).8.8}}=3\sqrt[3]{\dfrac{x^3}{64}}=\dfrac{3x}{4}\)
Chứng minh tương tự ta có:
\(\dfrac{y^3}{\left(1+z\right)\left(1+x\right)}+\dfrac{1+z}{8}+\dfrac{1+x}{8}\ge\dfrac{3y}{4}\)
\(\dfrac{z^3}{\left(1+x\right)\left(1+y\right)}+\dfrac{1+x}{8}+\dfrac{1+y}{8}\ge\dfrac{3z}{4}\)
Cộng từng vế ta được:
\(\dfrac{x^3}{\left(1+y\right)\left(1+z\right)}+\dfrac{y^3}{\left(1+x\right)\left(1+z\right)}+\dfrac{z^3}{\left(1+x\right)\left(1+y\right)}+\dfrac{3+x+y+z}{4}\ge\dfrac{3\left(x+y+z\right)}{4}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{x^3}{\left(1+y\right)\left(1+z\right)}+\dfrac{y^3}{\left(1+x\right)\left(1+z\right)}+\dfrac{z^3}{\left(1+x\right)\left(1+y\right)}\ge\dfrac{3x+3y+3z-3-x-y-z}{4}=\dfrac{2\left(x+y+z\right)-3}{4}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{x^3}{\left(1+y\right)\left(1+z\right)}+\dfrac{y^3}{\left(1+x\right)\left(1+z\right)}+\dfrac{z^3}{\left(1+x\right)\left(1+y\right)}\ge\dfrac{2.\sqrt[3]{xyz}-3}{4}=\dfrac{2.3-3}{4}=\dfrac{3}{4}\left(đfcm\right)\)
TN
7 tháng 6 2017
Sửa đề: Sửa x+y thành x-y đi nhé ở giả thiết âý
Lời giải+làm rõ cái gợi ý
Ta có mệnh đề \(a+b+c=0\) thì \(a^3+b^3+c^3=3abc\), áo dụng cái này với \(a=\left(y-z\right)\sqrt[3]{1-x^3};b=\left(z-x\right)\sqrt[3]{1-y^3};c=\left(x-y\right)\sqrt{1-z^3}\) ta được:
\(\left(y-z\right)^3\left(1-x^3\right)+\left(z-x\right)^3\left(1-y^3\right)+....=...\) (như trên)
Suy ra \(\left(\left(y-z\right)^3+\left(z-x\right)^3+\left(x-y\right)^3\right)-\left(\left(xy-xz\right)^3+\left(yz-xy\right)^3+\left(zx-yz\right)^3\right)\)
\(=3\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(x+z\right)\sqrt[3]{1-x^3}\sqrt[3]{1-y^3}\sqrt[3]{1-z^3}\left(1\right)\)
Ta lại có:\(\left(y-z\right)^3+\left(z-x\right)^3+\left(x-y\right)^3=3\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(z-x\right)\left(2\right)\)
Và \(\left(xy-zx\right)^3+\left(yz-xy\right)^3+\left(zx-yz\right)^3=3xyz\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(z-x\right)\left(3\right)\)
Thay (2),(3) vào (1) ta có:
\(3\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(z-x\right)\left(1-xyz\right)=3\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(z-x\right)\sqrt[3]{1-x^3}\sqrt[3]{1-y^3}\sqrt[3]{1-z^3}\)
Vì x,y,z đôi một khác nhau nên
\(\left(1-xyz\right)=\sqrt[3]{1-x^3}\sqrt[3]{1-y^3}\sqrt[3]{1-z^3}\)
\(\Leftrightarrow\left(1-xyz\right)^3=\left(1-x^3\right)\left(1-y^3\right)\left(1-z^3\right)\)
P.s:mệt quá rồi, vừa làm vừa ngáp có gì mai thanh toán
7 tháng 6 2017
Bạn lập phương 2 vế của phương trình =0 đó rồi nhân tung ra (vất vả) rồi kết hợp với gợi ý của thầy cậu là ok
Ap dung bdt Holder ta co
\(VP=\left(a^3+b^3+0^3\right)\left(b^3+y^3+0^3\right)\left(c^3+z^3+0^3\right)\ge\left(abc+xyz+0\right)^3=VT\)
P/s: Day la 1 he qua quen thuoc cua bdt Holder
Automa checking inequality. (Ảnh trong thống kê hỏi đáp)