Cho x , y , z > 0 và x + y + z = 3 .
Tìm GTNN của A = \(\dfrac{1}{2x+y}+\dfrac{1}{2y+z}+\dfrac{1}{2z+x}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
14 tháng 1 2021
\(T=\dfrac{\left(xy\right)^2}{zx+zy}+\dfrac{\left(yz\right)^2}{xy+xz}+\dfrac{\left(zx\right)^2}{yx+yz}\ge\dfrac{xy+yz+zx}{2}\ge\dfrac{3}{2}\sqrt[3]{\left(xyz\right)^2}=\dfrac{3}{2}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
29 tháng 6 2020
\(B=\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\ge\frac{9}{2x+y+z+x+2y+z+x+y+2z}=\frac{9}{4\left(x+y+z\right)}\ge\frac{9}{4}.1=\frac{9}{4}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\)
SG
24 tháng 4 2023
Ta có bất đẳng thức AM-GM dạng phân thức sau:
\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{4}{a+b}\Rightarrow \dfrac{1}{a+b}\le\dfrac{1}{4}(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b})\)
Dấu ''='' xảy ra khi và chỉ khi a=b
Quay lại bài toán: Áp dụng bđt trên, ta có:
\(\dfrac{1}{2x+y+z}=\dfrac{1}{(x+y)+(x+z)}\le\dfrac{1}{4}(\dfrac{1}{x+y}+\dfrac{1}{x+z})\\ \le\dfrac{1}{16}(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{z})=\dfrac{1}{16}(\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z})\)
Tương tự:
\(\dfrac{1}{x+2y+z}\le\dfrac{1}{16}(\dfrac{1}{x}+\dfrac{2}{y}+\dfrac{1}{z})\); \(\dfrac{1}{x+y+2z}\le\dfrac{1}{16}(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{2}{z})\)
Cộng 3 phân thức lại, ta có:
\(\dfrac{1}{2x+y+z}+\dfrac{1}{x+2y+z}+\dfrac{1}{x+y+2z}\le\dfrac{1}{4}(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z})=\dfrac{1}{4}.4=1\)
Dấu ''='' xảy ra khi và chỉ khi: \(x=y=z=\dfrac{3}{4}\)
2 tháng 3 2023
`P=x^3/(x+y)+y^3/(y+z)+z^3/(z+x)`
`=x^4/(x^2+xy)+y^4/(y^2+yz)+z^4/(z^2+zx)`
Ad bđt cosi-swart:
`P>=(x^2+y^2+z^2)^2/(x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx)`
Mà `xy+yz+zx<=x^2+y^2+z^2)`
`=>P>=(x^2+y^2+z^2)^2/(2(x^2+y^2+z^2))=(x^2+y^2+z^2)/2=3/2`
Dấu "=" xảy ra khi `x=y=z=1`
`Q=(x^3+y^3)/(x+2y)+(y^3+z^3)/(y+2z)+(z^3+x^3)/(z+2x)`
`Q=(x^3/(x+2y)+y^3/(y+2z)+z^3/(z+2x))+(y^3/(x+2y)+z^3/(y+2z)+x^3/(z+2x))`
`Q=(x^4/(x^2+2xy)+y^4/(y^2+2yz)+z^4/(z^2+2zx))+(y^4/(xy+2y^2)+z^4/(yz+2z^4)+x^4/(xz+2x^2))`
Áp dụng BĐT cosi-swart ta có:
`Q>=(x^2+y^2+z^2)^2/(x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx)+(x^2+y^2+z^2)^2/(2(x^2+y^2+z^2)+xy+yz+zx))`
Mà`xy+yz+zx<=x^2+y^2+z^2`
`=>Q>=(x^2+y^2+z^2)^2/(3(x^2+y^2+z^2))+(x^2+y^2+z^2)^2/(3(x^2+y^2+z^2))=(2(x^2+y^2+z^2)^2)/(3(x^2+y^2+z^2))=(2(x^2+y^2+z^2))/3=2`
Dấu "=" xảy ra khi `x=y=z=1.`
19 tháng 10 2018
Áp dụng bđt Cauchy-Schwarz:
\(A=\dfrac{1}{\sqrt{x\left(y+2z\right)}}+\dfrac{1}{\sqrt{y\left(z+2x\right)}}+\dfrac{1}{\sqrt{z\left(x+2y\right)}}\)
\(\ge\dfrac{\left(1+1+1\right)^2}{\sqrt{x\left(y+2z\right)}+\sqrt{y\left(z+2x\right)}+\sqrt{z\left(x+2y\right)}}\)
\(=\dfrac{9}{\sqrt{x\left(y+2z\right)}+\sqrt{y\left(z+2x\right)}+\sqrt{z\left(x+2y\right)}}\)
Áp dụng liên tiếp Bunyakovsky và AM-GM:
\(\left(\sqrt{x\left(y+2z\right)}+\sqrt{y\left(z+2x\right)}+\sqrt{z\left(x+2y\right)}\right)^2\)
\(\le\left(1^2+1^2+1^2\right)\left[x\left(y+2z\right)+y\left(z+2x\right)+z\left(x+2y\right)\right]\)
\(=3.3\left(xy+yz+xz\right)\)
Mà \(3\left(xy+yz+xz\right)\le\left(x+y+z\right)^2=3\)
\(3.3\left(xy+yz+xz\right)\le3.3=9\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{x\left(y+2z\right)}+\sqrt{y\left(z+2x\right)}+z\sqrt{\left(x+2y\right)}\le\sqrt{9}=3\)
\(\Leftrightarrow A\ge\dfrac{9}{3}=3."="\Leftrightarrow x=y=z=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\)
\(A\ge\frac{9}{2x+y+2y+z+2z+x}=\frac{9}{3\left(x+y+z\right)}=\frac{9}{3.3}=1\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\)