chứng minh với mọi a,b,c ta có bất đẳng thức
\(2a^2+b^2+c^2\ge2a\left(b+c\right)\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
14 tháng 10 2018
Bo may la binh day k di hieu ashdbfgbgygygggydfsghuyfhdguuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuu3
PN
25 tháng 9 2020
a, Ta có : \(\left(a-b\right)^2\ge0< =>a^2-2ab+b^2\ge0< =>a^2+b^2\ge2ab\)
\(\left(a-c\right)^2\ge0< =>a^2-2ac+c^2\ge0< =>a^2+c^2\ge2ac\)
Cộng theo vế hai bất đẳng thức sau : \(a^2+b^2+a^2+c^2\ge2ac+2ab< =>2a^2+b^2+c^2\ge2a\left(b+c\right)\left(đpcm\right)\)
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c\)
NT
0
5 tháng 2 2018
a) Áp dụng bất đẳng thức AM-GM :
\(\left(a^2+b^2\right)\left(a^2+1\right)\ge2\sqrt{a^2b^2}.2\sqrt{a^2}\ge2ab.2a=4a^2b\)
b) Áp dụng bất đẳng thức :\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\forall x;y>0\)
\(\frac{1}{a+3b}+\frac{1}{b+2c+a}\ge\frac{4}{a+3b+b+2c+a}=\frac{4}{2a+4b+2c}=\frac{2}{a+2b+c}\)
Tương tự \(\hept{\begin{cases}\frac{1}{b+3c}+\frac{1}{c+2a+b}\ge\frac{2}{b+2c+a}\\\frac{1}{c+3a}+\frac{1}{a+2b+c}\ge\frac{2}{b+2a+c}\end{cases}}\)
Cộng vế với vế ta được : \(VT+VP\ge2VP\Rightarrow VT\ge VP\)(đpcm)
BV
21 tháng 3 2022
a, \(\dfrac{a^2+2ab+b^2}{4}\ge ab\)
\(\Leftrightarrow\)a^2+2ab+b^2>=4ab
\(\Leftrightarrow\)a^2-2ab+b^2>=0
\(\Leftrightarrow\)(a-b)^2>=0 (luôn đúng)
BV
21 tháng 3 2022
b,\(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)
\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge2\left(ab+bc+ca\right)\)
\(a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+c^2-2ac+a^2\ge0\)
\(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\) luôn đúng
22 tháng 9 2020
\(\left(a+b+c\right)^2+a^2+b^2+c^2=\left(a+b\right)^2+\left(b+c\right)^2+\left(c+a\right)^2\)
VT : (a + b + c)2 + a2 + b2 + c2
= a2 + b2 + c2 + 2ab +2bc + 2ac + a2 + b2 + c2
= ( a2 + 2ab + b2 ) + (b2 + 2bc + c2) + ( a2 + 2ac + c2)
= (a + b)2 + (b + c)2 + (a + c)2 = VP
Vậy \(\left(a+b+c\right)^2+a^2+b^2+c^2=\left(a+b\right)^2+\left(b+c\right)^2+\left(c+a\right)^2\)(đpcm)
NM
4
F
25 tháng 9 2020
\(2a^2+b^2+c^2\ge2a\left(b+c\right)\)
\(a^2+a^2+b^2+c^2\ge2ab+2ac\)
\(a^2+2ab+b^2+a^2+2ac+c^2\ge0\)
\(\left(a+b\right)^2+\left(a+c\right)^2\ge0\forall a,b,c\)
\(\Rightarrowđpcm\)
25 tháng 9 2020
a^2 + a^2 + b^2 + c^2 lớn hơn hoặc bằng 2a(b+c)
Áp dụng bất đt cauchy cho hai số không âm a^2 và b^2
a^2 + b^2 lớn hơn hoặc bằng 2 căn ( a^2 b^2 )
a^2 + b^2 lớn hơn hoặc bằng 2ab ( 1 )
Áp dụng bất đẳng thức cauchy cho hai số không âm a^2 và c^2
a^2 + c^2 lớn hơn hoặc bằng 2 căn ( a^2 c^2 )
a^2 + c^2 lớn hơn hoặc bằng 2ac ( 2 )
( 1 ) và ( 2 )
Suy ra a^2 + b^2 + a^2 + c^2 lớn hoăn hoặc bằng 2ab + 2ac
2a^2 + b^2 + c^2 lớn hơn hoặc bằng 2a(b+c) ( đpcm )
\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2+a^2-2ac+c^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(a-c\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Vậy BĐT ban đầu được chứng minh
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)