Question

[Lê Tiến Đạt]

Cho hình chóp S.ABC có đáy là ΔABC vuông tại C và SA⊥(ABC).Gọi AH là đường cao của △SAC.

a) vẽ hình đề cho

b)Chứng minh BC⊥(SAC)

c)Chứng minh AH⊥(SBC)

d)Gọi K là điểm nằm bên cạnh SB sao cho\(\frac{SH}{SC}\)=\(\frac{SK}{SB}\).Chứng minh HK⊥SA.

e) Chứng minh AK⊥SC

f) Cho SA=a , CA =CB =a , tính góc giữa đường thẳng AB và mp(SBC)

Answer 1

[Nguyễn Việt Lâm]

\(\left\{{}\begin{matrix}SA\perp\left(ABC\right)\Rightarrow SA\perp BC\\BC\perp AC\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow BC\perp\left(SAC\right)\)

\(\Rightarrow BC\perp AH\) (1)

Mà \(AH\perp SC\) (2)

(1);(2) \(\Rightarrow AH\perp\left(SBC\right)\)

\(\frac{SH}{SC}=\frac{SK}{SB}\Rightarrow HK//BC\) (định lý Talet đảo)

\(\Rightarrow HK\perp\left(SAC\right)\) (do \(BC\perp\left(SAC\right)\)

\(\Rightarrow HK\perp SA\)

\(HK\perp\left(SAC\right)\Rightarrow HK\perp SC\) (3)

(2);(3) \(\Rightarrow SC\perp\left(AHK\right)\Rightarrow SC\perp AK\)

\(AH\perp\left(SBC\right)\) (cmt) \(\Rightarrow\) BH là hình chiếu vuông góc của AB lên (SBC)

\(\Rightarrow\widehat{ABH}\) là góc giữa AB và (SBC)

\(\frac{1}{AH^2}=\frac{1}{SA^2}+\frac{1}{AC^2}=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{a^2}=\frac{2}{a^2}\Rightarrow AH=\frac{a\sqrt{2}}{2}\)

\(AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=a\sqrt{2}\)

\(\Rightarrow sin\widehat{ABH}=\frac{AH}{AB}=\frac{1}{2}\Rightarrow\widehat{ABH}=30^0\)