a. Tìm các số thực dương a, b, c thỏa mãn \(a\le b\le c\) và \(a b c=\frac{1}{a} \frac{1}{b} \frac{1}{c}\). Tìm GTNN của biểu thức: \(P=a b^{2019} c^{2020}\) b. Tìm 3 số nguyên tố p, q, r sao cho \(p...

NT

Nguyễn Thị Nguyệt Ánh

1 tháng 6 2020

a. Tìm các số thực dương a, b, c thỏa mãn \(a\le b\le c\) và \(a+b+c=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\). Tìm GTNN của biểu thức: \(P=a+b^{2019}+c^{2020}\) b. Tìm 3 số nguyên tố p, q, r sao cho \(p^r+p^q\) là 1 số chính phương. c.Cho 3 số dương a, b,c thỏa mãn abc=1. CMR...

Đọc tiếp

#Toán lớp 8

0

NH

Nguyễn Hồng Hương

29 tháng 4 2016 - olm

Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện \(\frac{1}{a+2}+\frac{3}{b+4}\le\frac{c+1}{c+3}\)

Tìm GTNN của biểu thức Q = (a + 1)(b + 1)(c + 1).

#Toán lớp 9

0

HL

Hiếu Lê

13 tháng 8 2020 - olm

Cho a,b,c là 3 số thực dương thỏa mãn \(a^2+b^2+c^2\le\frac{3}{4}\)

Tìm GTNN của biểu thức \(P=8abc+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\)

#Toán lớp 10

1

HF

HD Film

13 tháng 8 2020

+)\(\frac{3}{4}\ge a^2+b^2+c^2\ge3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}\Leftrightarrow\frac{1}{8}\ge abc\)

+) \(P=8abc+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}=\left(32abc+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)-24abc\)

\(\ge4\sqrt[4]{\frac{32}{abc}}-24abc\ge4\sqrt[4]{\frac{32}{\frac{1}{8}}}-3=16-3=13\)

Dấu = xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{2}\)

Đúng(0)

HD

Hắc Dương

22 tháng 6 2017 - olm

Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn \(b^2+c^2\le a^2\). Tìm GTNN của biểu thức: \(P=\frac{1}{a^2}\left(b^2+c^2\right)+a^2\left(\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)\)

#Toán lớp 9

3

TA

Thiên An

22 tháng 6 2017

Kurosaki Akatsu giải thế thì đề bài cho \(b^2+c^2\le a^2\) để làm gì?

Đúng(0)

KA

Kurosaki Akatsu

22 tháng 6 2017

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có :

\(P=\frac{1}{a^2}\left(b^2+c^2\right)+a^2\left(\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)\)

\(P=\frac{b^2}{a^2}+\frac{c^2}{a^2}+\frac{a^2}{b^2}+\frac{a^2}{c^2}\ge4.\sqrt[4]{\frac{b^2}{a^2}.\frac{c^2}{a^2}.\frac{a^2}{b^2}.\frac{a^2}{c^2}}=4.1=4\)

=> \(Min_P=4\)

Đúng(0)

HD

hong doan

26 tháng 4 2018 - olm

Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn điều kiện \(a+b+c\le\frac{3}{2}\).Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(M=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)

#Toán lớp 9

7

OS

oOo Sát thủ bóng đêm oOo

27 tháng 7 2018

tích mình đi

làm ơn

rùi mình

tích lại

thanks

Đúng(0)

T

Tuan

27 tháng 7 2018

k mk đi

Đúng(0)

LD

l҉o҉n҉g҉ d҉z҉

31 tháng 12 2020 - olm

Tìm số nguyên dương n lớn nhất để bất đẳng thức sau thỏa mãn

\(\frac{1}{\sqrt[n]{\left(na+b+c\right)^4}}+\frac{1}{\sqrt[n]{\left(a+nb+c\right)^4}}+\frac{1}{\sqrt[n]{\left(a+b+nc\right)^4}}\le\frac{3}{16}\)

trong đó a,b,c là các số thực dương thỏa mãn \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\le a+b+c\)

#Toán lớp 9

1

DN

Đặng Ngọc Quỳnh

1 tháng 1 2021

Đặt bđt là (*)

Để (*) đúng với mọi số thực dương a,b,c thỏa mãn :

\(a+b+c\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)thì \(a=b=c=1\) cũng thỏa mãn (*)

\(\Rightarrow4\le\sqrt[n]{\left(n+2\right)^2}\)

Mặt khác: \(\sqrt[n]{\left(n+2\right)\left(n+2\right).1...1}\le\frac{2n+4+\left(n-2\right)}{n}=3+\frac{2}{n}\)

Hay \(n\le2\)

Với n=2 . Thay vào (*) : ta cần CM BĐT

\(\frac{1}{\left(2a+b+c\right)^2}+\frac{1}{\left(2b+c+a\right)^2}+\frac{1}{\left(2c+a+b\right)^2}\le\frac{3}{16}\)

Với mọi số thực dương a,b,c thỏa mãn: \(a+b+c\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)

Vì: \(\frac{1}{\left(2a+b+c\right)^2}\le\frac{1}{4\left(a+b\right)\left(a+c\right)}\)

Tương tự ta có:

\(\frac{1}{\left(2b+a+c\right)^2}\le\frac{1}{4\left(a+b\right)\left(a+c\right)};\frac{1}{\left(2c+a+b\right)^2}\le\frac{1}{4\left(a+c\right)\left(c+b\right)}\)

Ta cần CM:

\(\frac{a+b+c}{2\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\le\frac{3}{16}\Leftrightarrow16\left(a+b+c\right)\le6\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\)

Ta có BĐT: \(9\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge8\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)\)

Và: \(3\left(ab+cb+ac\right)\le3abc\left(a+b+c\right)\le\left(ab+cb+ca\right)^2\Rightarrow ab+bc+ca\ge3\)

=> đpcm

Dấu '=' xảy ra khi a=b=c

=> số nguyên dương lớn nhất : n=2( thỏa mãn)

Đúng(0)

EC

Edogawa Conan

5 tháng 6 2020 - olm

Câu hỏi hay

Cho các số dương a,b,c thõa mãn \(a\le b\le c\) và \(a+b+c=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\). Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

P = a + b²⁰¹⁹ + c²⁰²⁰

#Toán lớp 8

1

KA

Kiyotaka Ayanokoji

4 tháng 8 2020

\(a+b+c=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)

\(\Rightarrow2.\left(a+b+c\right)=a+b+c+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:

\(a+b+c+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge2\sqrt{a.\frac{1}{a}}+2\sqrt{b.\frac{1}{b}}+2\sqrt{c.\frac{1}{c}}\)

\(=2+2+2=6\)

\(\Rightarrow a+b+c\ge3\)

\(P=a+b^{2019}+c^{2020}\)

\(=a+\left(b^{2019}+1.2018\right)+\left(c^{2020}+1.2019\right)-4037\)

\(\ge a+2019.\sqrt[2019]{b^{2019}.1^{2018}}+2020.\sqrt[2020]{c^{2020}.1^{2019}}-4037\)(BDT Cauchy-Schwarz)

\(=a+2019b+2020c-4037\)

Do \(a\le b\le c\)nên

\(\Rightarrow P\ge a+2019b+2020c\)

\(\ge a+\left(\frac{2017}{3}+\frac{4040}{3}\right)b+\left(\frac{2020}{3}+\frac{4040}{3}\right)c-4037\)

\(\ge a+\frac{2017}{3}a+\frac{4040}{3}b+\frac{2020}{3}a+\frac{4040}{3}c-4037\)

\(=\frac{4040}{3}.\left(a+b+c\right)-4037\)

\(\ge4040-4037=3\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)

Đúng(0)

OI

o0o I am a studious person o0o

8 tháng 5 2017 - olm

Cho 3 số thực dương a,b,c thỏa : \(\frac{1}{a+2}+\frac{3}{b+4}\le\frac{c+1}{c+3}\)

Tìm GTNN của biểu thức :

\(Q=\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)\)

#Toán lớp 9

1

LV

Lầy Văn Lội

9 tháng 5 2017

để biểu thức cho đơn giản , ta đặt x=a+1,y=b+1,z=c+1(x,y,z>0)

thì giả thiết thành \(\frac{1}{x+1}+\frac{3}{y+3}\le\frac{z}{z+2}\) .Tìm min xyz

Áp dụng bất đẳng thức cauchy:\(\frac{z}{z+2}\ge\frac{1}{x+1}+\frac{3}{y+3}\ge2\sqrt{\frac{3}{\left(x+1\right)\left(y+3\right)}}\)(1)

từ giả thiết :\(\frac{1}{x+1}\le\frac{z}{z+2}-\frac{3}{y+3}\Leftrightarrow1-\frac{1}{x+1}\ge1-\frac{z}{z+2}+\frac{3}{y+3}\)

\(\Leftrightarrow\frac{x}{x+1}\ge\frac{2}{z+2}+\frac{3}{y+3}\)

Áp dụng bất đẳng thức cauchy 1 lần nữa: \(\frac{x}{x+1}\ge\frac{2}{z+2}+\frac{3}{y+3}\ge2\sqrt{\frac{6}{\left(z+2\right)\left(y+3\right)}}\)(2)

tương tự ta cũng có: \(\frac{y}{y+3}\ge2\sqrt{\frac{2}{\left(z+2\right)\left(x+1\right)}}\)(3),

cả 2 vế các bất đẳng thức (1),(2)và (3) đều dương, nhân vế với vế:

\(\frac{xyz}{\left(x+1\right)\left(y+3\right)\left(z+2\right)}\ge\frac{8.6}{\left(x+1\right)\left(z+2\right)\left(y+3\right)}\)

\(\Leftrightarrow xyz\ge48\)

Dấu = xảy ra khi x=2,y=6,z=4 hay a=1,b=5,z=3

Đúng(0)

TT

Trần Thị Hà

18 tháng 3 2020 - olm

Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn a+b+c\(\le\)3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

M=\(\frac{a^2+4a+1}{a^2+a}+\frac{b^2+4b+1}{b^2+b}+\frac{c^2+4c+1}{c^2+4c}\)

#Toán lớp 9

0

IU

Itachi Uchiha

1 tháng 10 2017 - olm

Cho 4 số nguyên dương a,b,c,d thoả mãn \(1\le a\le b\le c\le d\le100\)Tìm GTNN của biểu thức P= \(\frac{a}{b}\)+ \(\frac{c}{d}\)

#Toán lớp 9

0

Chúng tôi đề xuất

Tài nguyên

Ứng dụng mobile

Bảng xếp hạng

Các khóa học có thể bạn quan tâm

Yêu cầu VIP