cho x,y ,z là các số thực dương thỏa mãn \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=2019.\)
Max P=\(\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
16 tháng 9 2018
Với 2 số dương bất kì: ( 1 )
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\)Vì x và y dương nên \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2\ge4xy\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\forall x;y\)
Áp dụng ( 1 ): \(\frac{4}{2x+y+z}=\frac{4}{\left(x+y\right)+\left(x+z\right)}\le\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x+z}\)
Mà: \(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x+z}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{x}+\frac{1}{z}\right)=\frac{1}{4}\)\(=\frac{1}{4}\left(\frac{2}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)
Nên: \(\frac{1}{2x+y+z}\le\frac{1}{16}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)
Tương tự ta có: \(\frac{1}{x+2y+z}\le\frac{1}{16}\left(\frac{1}{x}+\frac{2}{y}+\frac{1}{z}\right)\)
Và \(\frac{1}{x+y+2z}\le\frac{1}{16}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)
Cộng vế với vế các bất đẳng thức kết hợp với điều kiện \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=4\) nên ta có đpcm
TT
27 tháng 2 2020
Bài này áp dụng BĐT này nhé , với x,y > 0 ta có :
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\) ( Cách chứng minh thì chuyển vế quy đồng nhé )
Áp dụng vào bài toán ta có :
\(\frac{1}{2x+y+z}=\frac{1}{4}\left(\frac{4}{\left(x+y\right)+\left(z+x\right)}\right)\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{z+x}\right)=\frac{1}{16}\left(\frac{4}{x+y}+\frac{4}{z+x}\right)\)
\(\le\frac{1}{16}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{x}\right)\)
\(\Rightarrow\frac{1}{2x+y+z}\le\frac{1}{16}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{x}\right)\)
Tương tự ta có :
\(\frac{1}{x+2y+z}\le\frac{1}{16}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)
\(\frac{1}{x+y+2z}\le\frac{1}{16}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{z}\right)\)
Do đó : \(\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\le\frac{1}{16}\left(\frac{4}{x}+\frac{4}{y}+\frac{4}{z}\right)=\frac{1}{4}\left(x+y+z\right)=1\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z=\frac{3}{4}\) (đpcm)
TG
27 tháng 2 2020
Ta có: \(\frac{1}{2x+y+z}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x+z}\right)\le\frac{1}{16}\left(\frac{2}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)
Tương tự: \(\frac{1}{x+2y+z}\le\frac{1}{16}\left(\frac{1}{x}+\frac{2}{y}+\frac{1}{z}\right)\)
\(\frac{1}{x+y+2z}\le\frac{1}{16}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{2}{z}\right)\)
Cộng vế theo vế có: \(VT\le\frac{1}{16}\left(\frac{4}{x}+\frac{4}{y}+\frac{4}{z}\right)=1\)
DD
Đoàn Đức Hà
Giáo viên
9 tháng 3 2021
Ta có bất đẳng thức: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\) với \(x,y>0\).
Dấu \(=\)xảy ra khi \(x=y\).
Ta có: \(\frac{1}{2x+y+z}=\frac{1}{x+y+x+z}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x+z}\right)\)
\(\le\frac{1}{16}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{x}+\frac{1}{z}\right)=\frac{1}{16}\left(\frac{2}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\).
Tương tự với hai số hạng còn lại.
Suy ra \(P\le\frac{1}{16}\left(\frac{2}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)+\frac{1}{16}\left(\frac{1}{x}+\frac{2}{y}+\frac{1}{z}\right)+\frac{1}{16}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{2}{z}\right)\)
\(=\frac{1}{16}\left(\frac{4}{x}+\frac{4}{y}+\frac{4}{z}\right)=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)=\frac{2020}{4}=505\).
Dấu \(=\)xảy ra khi \(x=y=z=\frac{3}{2020}\).
DD
Đoàn Đức Hà
Giáo viên
21 tháng 6 2021
Ta có bất đẳng thức: với \(x,y>0\)
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\)
Dấu \(=\)khi \(x=y\).
Áp dụng bất đẳng thức trên ta được:
\(\frac{1}{2x+3y+3z}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{2y+2z}\right)\le\frac{1}{4}\left[\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x+z}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{y+z}\right)\right]\)
\(=\frac{1}{16}\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x+z}\right)+\frac{1}{8}\left(\frac{1}{y+z}\right)\)
Tương tự với \(\frac{1}{3x+2y+3z},\frac{1}{3x+3y+2z}\)sau đó cộng lại vế với vế ta được:
\(P\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}\right)=3\)
Dấu \(=\)xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{8}\)
Lời giải:
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
\(\frac{1}{2x+y+z}\leq \frac{1}{16}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)
\(\frac{1}{x+2y+z}\leq \frac{1}{16}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)
\(\frac{1}{x+y+2z}\leq \frac{1}{16}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{z}\right)\)
Cộng theo vế 3 BĐT trên thu được:
\(M\leq \frac{1}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)=\frac{2019}{4}\)
Vậy $M_{\max}=\frac{2019}{4}$. Giá trị này đạt tại $x=y=z=\frac{3}{2019}$