CMR:
a,(\(a^4+b^4\)) ≥ \(\left(a+b\right)^4\)
b,\(\left(a^2+b^2\right)\)≥ \(ab\left(a+b\right)^2\)
c, \(a^2+b^2+c^2\)≥ a(b+c)
d, \(a^2+b^2+c^2+d^2\)≥ a(b+c+d)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
6 tháng 1 2020
Nhận xét:Ghi nhớ tam giác Pascal cho bậc 4:\(1\rightarrow4\rightarrow6\rightarrow4\rightarrow1\)
cần cù bù thông minh :)
\(a^2+b^2+\left(a-b\right)^2=c^2+d^2+\left(c-d\right)^2\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+a^2-2ab+b^2=c^2+d^2+c^2-2cd+d^2\)
\(\Leftrightarrow a^2-ab+b^2=c^2-cd+d^2\)
\(\Rightarrow\left(a^2-ab+b^2\right)^2=\left(c^2-cd+d^2\right)^2\) ( mạnh dạn bình phương )
\(\Leftrightarrow a^4+a^2b^2+b^4-2a^3b-2ab^3+2a^2b^2=c^4+c^2d^2+d^4-2c^3d-2cd^3+2c^2d^2\)
\(\Leftrightarrow a^4+3a^2b^2+b^4-2a^3b-2ab^3=c^4+3c^2d^2+d^4-2c^3d-2cd^3\left(1\right)\)
Mặt khác:
\(a^4+b^4+\left(a-b\right)^4\)
\(=a^4+b^4+a^4-4a^3b+6a^2b^2-4ab^3+b^4\)
\(=2\left(a^4-2a^3b-2ab^3+3a^2b^2\right)\left(2\right)\)
Tương tự:
\(c^4+d^4+\left(c-d\right)^4=2\left(c^4-2c^3d-2cd^3+3c^2d^2\right)\left(3\right)\)
Từ ( 1 );( 2 );( 3 ) suy ra đpcm
AT
24 tháng 8 2018
a/ \(A=\left(3+1\right)\left(3^2+1\right)\left(3^4+1\right)...\left(3^{64}+1\right)\)
\(2A=2\left(3+1\right)\left(3^2+1\right)\left(3^4+1\right)...\left(3^{64}+1\right)\)
\(2A=\left(3-1\right)\left(3+1\right)\left(3^2+1\right)\left(3^4+1\right)...\left(3^{64}+1\right)\)
\(2A=\left(3^2-1\right)\left(3^2+1\right)\left(3^4+1\right)...\left(3^{64}+1\right)\)
\(2A=\left(3^4-1\right)\left(3^4+1\right)...\left(3^{64}+1\right)\)
\(\Rightarrow2A=3^{128}-1\Rightarrow A=\dfrac{3^{128}-1}{2}\)
13 tháng 8 2017
4) Ta có : A=(a+b+c+d)(a-b-c+d)=(a-b+c-d)(a+b-c-d)
=> (a+d)2 - (b+c)2= (a-d)2 - (c-b)2
=> a2+ d2+ 2ad - b2- c2- 2bc=a2 + d2 - 2ad - c2-b2+2bc
Rút gọn ta được: 4ad = 4bc => ad = bc =>\(\dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{d}\)
13 tháng 8 2017
1) a2+b2+c2+3=2(a+b+c) =>(a-1)2+(b-1)2+(c-1)2=0
=> a-1=b-1=c-1=0 => a=b=c=1 =>đpcm
KN
1 tháng 8 2020
Xét \(\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}-\frac{b^3}{a^2+ab+b^2}=\frac{\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)}{a^2+ab+b^2}=a-b\)
Tương tự, ta được: \(\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}-\frac{c^3}{b^2+bc+c^2}=b-c\); \(\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}-\frac{a^3}{c^2+ca+a^2}=c-a\)
Cộng theo vế của 3 đẳng thức trên, ta được: \(\left(\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}\right)\)\(-\left(\frac{b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{c^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{a^3}{c^2+ca+a^2}\right)=0\)
\(\Rightarrow\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}\)\(=\frac{b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{c^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{a^3}{c^2+ca+a^2}\)
Ta đi chứng minh BĐT phụ sau: \(a^2-ab+b^2\ge\frac{1}{3}\left(a^2+ab+b^2\right)\)(*)
Thật vậy: (*)\(\Leftrightarrow\frac{2}{3}\left(a-b\right)^2\ge0\)*đúng*
\(\Rightarrow2LHS=\Sigma_{cyc}\frac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^2}=\Sigma_{cyc}\text{ }\frac{\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)}{a^2+ab+b^2}\)\(\ge\Sigma_{cyc}\text{ }\frac{\frac{1}{3}\left(a+b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)}{a^2+ab+b^2}=\frac{1}{3}\text{}\Sigma_{cyc}\left[\left(a+b\right)\right]=\frac{2\left(a+b+c\right)}{3}\)
\(\Rightarrow LHS\ge\frac{a+b+c}{3}=RHS\)(Q.E.D)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c
P/S: Có thể dùng BĐT phụ ở câu 3a để chứng minhxD:
27 tháng 7 2020
1) ta chứng minh được \(\Sigma\frac{a^4}{\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)}=\Sigma\frac{b^4}{\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)}\)
\(VT=\frac{1}{2}\Sigma\frac{a^4+b^4}{\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)}\ge\frac{1}{4}\Sigma\frac{a^2+b^2}{a+b}\ge\frac{1}{8}\Sigma\left(a+b\right)=\frac{a+b+c+d}{4}\)
bài 2 xem có ghi nhầm ko
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
30 tháng 6 2020
d/ \(\Leftrightarrow a^4-a^3b+b^4-ab^3\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^3\left(a-b\right)-b^3\left(a-b\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a^3-b^3\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)\ge0\) (luôn đúng)
e/ \(\Leftrightarrow a^6+b^6+a^5b+ab^5\ge a^6+b^5+a^4b^2+a^2b^4\)
\(\Leftrightarrow a^5b-a^4b^2+ab^5-a^2b^4\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^4b\left(a-b\right)-ab^4\left(a-b\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow ab\left(a-b\right)\left(a^3-b^3\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow ab\left(a-b\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)\ge0\) (luôn đúng)
f/ \(\frac{a^6}{b^2}+a^2b^2\ge2\sqrt{\frac{a^8b^2}{b^2}}=2a^4\) ; \(\frac{b^6}{a^2}+a^2b^2\ge2b^4\)
\(\Rightarrow\frac{a^6}{b^2}+\frac{b^6}{a^2}\ge2a^4+2b^4-2a^2b^2\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^6}{b^2}+\frac{b^6}{a^2}\ge a^4+b^4+\left(a^4+b^4-2a^2b^2\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^6}{b^2}+\frac{b^6}{a^2}\ge a^4+b^4+\left(a^2-b^2\right)^2\ge a^4+b^4\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
30 tháng 6 2020
a/ \(VT=a^2\left(1+b^2\right)+b^2\left(1+c^2\right)+c^2\left(1+a^2\right)\)
\(VT=a^2+b^2+c^2+a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\)
\(VT\ge6\sqrt[6]{a^6b^6c^6}=6\left|abc\right|\ge6abc\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
b/ \(\Leftrightarrow4a^2+4b^2+4c^2+4d^2+4e^2\ge4ab+4ac+4ad+4ae\)
\(\Leftrightarrow\left(a-2b\right)^2+\left(a-2c\right)^2+\left(a-2d\right)^2+\left(a-2e\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Dấu "=" xảy ra khi \(\frac{a}{2}=b=c=d=e\)
c/ \(\Leftrightarrow\frac{a^3+b^3}{2}\ge\frac{a^3+b^3+3a^2b+3ab^2}{8}\)
\(\Leftrightarrow a^3-a^2b+b^3-ab^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a^2-b^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)\ge0\) (luôn đúng)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b\)