Từ điểm A ở bên ngoài đường tròn(O), kẻ các tiếp tuyến AM, AN với đường tròn ( M, N là các tiếp điểm ) . Đường thẳng d đi qua A cắt đường tròn (O) tại hai điểm phân biệt B , C ( O không thuộc d , B nằm giữa A và C ) . Gọi H là trung điểm của BC , I là giao điểm của MN với ÁO. Chứng minh tam giác ABI đồng dạng với tam giác AOC
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
a: Xét tứ giác OHAN có
\(\widehat{OHA}+\widehat{ONA}=180^0\)
Do đó: OHAN là tứ giác nội tiếp
hay O,H,A,N cùng thuộc 1 đường tròn(1)
Xét tứ giác OMAN có
\(\widehat{OMA}+\widehat{ONA}=180^0\)
Do đó: OMAN là tứ giác nội tiếp
hay O,M,A,N cùng thuộc 1 đường tròn(2)
Từ (1) và (2) suy ra O,H,M,A,N cùng nằm trên 1 đường tròn
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
a) Trong (O) có BC là dây cung không đi qua O có H là trung điểm BC
\(\Rightarrow OH\bot BC\Rightarrow\angle OHA=90\) mà \(\left\{{}\begin{matrix}\angle ONA=90\\\angle OMA=90\end{matrix}\right.\Rightarrow AMHO,ANOH\) nội tiếp \(\Rightarrow A,M,N,O,H\) cùng thuộc 1 đường tròn
b) \(AMHN\) nội tiếp \(\Rightarrow\angle AHN=\angle AMN=\angle ANM=\angle AHM\)
\(\Rightarrow\) HA là phân giác góc MHN
c) \(BE\parallel AM\Rightarrow \angle HBE=\angle HAM=\angle HNM\Rightarrow BEHN\) nội tiếp
\(\Rightarrow\angle BHE=\angle BNE=\angle BNM=\angle BCM\Rightarrow\)\(HE\parallel CM\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
a: Xét tứ giác KBOD có
\(\widehat{OBK}+\widehat{ODK}=180^0\)
=>KBOD là tứ giác nội tiếp
b: Xét (O) có
KB,KD là tiếp tuyến
=>KB=KD
mà OB=OD
nên OK là trung trực của BD
=>OK cắt BD tại trung điểm của BD
=>O,I,K thẳng hàng và OK\(\perp\)BD tại I
Xét ΔKBA và ΔKCB có
\(\widehat{KBA}=\widehat{KCB}\)
\(\widehat{BKA}\) chung
Do đó: ΔKBA đồng dạng với ΔKCB
=>KB/KC=KA/KB
=>\(KB^2=KA\cdot KC\)(1)
Xét ΔKBO vuông tại B có BI là đường cao
nên \(KI\cdot KO=KB^2\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) suy ra \(KA\cdot KC=KI\cdot KO\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
a: góc AMO+góc ANO=180 độ
=>AMON nội tiếp
b: Xét ΔANB và ΔACN có
góc ANB=góc ACN
góc NAB chung
=>ΔANB đồng dạng với ΔACN
=>AN^2=AB*AC
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
a: góc AMO+góc ANO=180 độ
=>AMON nội tiếp
b: Xét ΔANB và ΔACN có
góc ANB=góc ACN
góc NAB chung
=>ΔANB đồng dạng với ΔACN
=>AN^2=AB*AC
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
a. Dễ thấy AMON nội tiếp vì \(\widehat{AMO}=\widehat{ANO}=90^o\)
b. Do H là trung điểm BC nên \(OH⊥HA\), vậy H, M, A, N, O cùng thuộc đường tròn đường kính AO.
Ta có \(\widehat{NHA}=\widehat{NMA}=\widehat{MNA}=\widehat{MHA}\) (Góc nội tiếp cùng chắn cung và AM = AN)
Vậy HA là phân giác góc MHN.
c. Xét đường tròn ngoại tiếp tứ giác HMAN có: \(\widehat{HNM}=\widehat{HAM}\) (Góc nội tiếp cùng chắn cung HM)
Mà \(\widehat{HAM}=\widehat{HBE}\)(Đồng vị)
Vậy nên \(\widehat{HNE}=\widehat{HBE}\) hay HNBE nội tiếp.
Suy ra \(\widehat{ENB}=\widehat{EHB}\) (Cùng chắn cung EB)
Mà \(\widehat{ENB}=\widehat{MCB}\) (Cùng chắn cung MB) nên \(\widehat{EHB}=\widehat{MCB}\)
Chúng lại ở vị trí đồng vị nên HE // CM.